Ecuación funcional $3f(-3x) -f(x) = 3x^2$

Question

<blockquote> <p>Estoy tratando de resolver la siguiente ecuación funcional: $f(x)$ es una función continua, satisfaciendo 1 $f(f(x))=x$<br>(2) $3f(-3x)-f(x)= 3x^2$ $x>0$.</p> </blockquote> <p>De (1) y (2), encontré que $f(x)$ debe estar disminuyendo y $f(x) = f^{-1} (x)$.</p> <p>Pero no puedo averiguar cómo utilizar (2).</p> <p>¿Cómo puedo usar (2) para solucionar esto?</p> <p>¡Gracias!</p>

Answer 1

No hay soluciones.

(La pregunta ya notas $f$ está disminuyendo; me incluir una prueba de integridad).

Por (1), $f$ es bijective.

Desde $f$ es asumido continuo, esto implica $f$ es estrictamente monótona por este resultado. Es decir, $f$ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

Tomando el límite cuando $x\to0^+$ (2) da $f(0)=0$. Establecimiento $x=1$ da $$3f(-3)-f(1)=3.\la etiqueta{3}$$ Si $f$ va en aumento, a continuación,$f(-3)<0$$f(1)>0$, contradiciendo (3). Por lo tanto $f$ está disminuyendo. En particular,$f(-3)>0$, por lo que (3) da $$f(1)=3f(-3)-3>-3.$$ Por lo tanto $1=f(f(1))<f(-3)$. Ahora (3) da $$f(1)=3f(-3)-3>0=f(0),$$ una contradicción.