¿Desordené la relación de Poisson-Gamma?

Question

Permita que$X_1, X_2$ sea independiente, variables aleatorias distribuidas exponencialmente con media 2. Entonces$X_1+X_2=Z$ se distribuye con gamma con$\alpha=2$ y$\beta=1/2$.

Estoy tratando de resolver la probabilidad de que$X_1>3$ dado que$X_1 +X_2>3$. Esto debería ser bastante sencillo, pero mi respuesta difiere de la respuesta del libro.

Configuré la solución como $$P[X_1>3]/P[Z>3]=e^{-1.5}/(1-P[Z<3])=e^{-1.5}/(1-P[Q<2])$$ where $Q$ has a poisson distribution with mean equal to $x * \ beta = 3/2.$ As a result, I get $$ e^{-1.5}/(1-[1.5e^{-1.5}+e^{-1.5}])=.223/.442 = .50.

La respuesta de mi libro es$.40.$ ¿Alguien ve dónde podría haber metido la pata?

Answer 1

$$\begin{equation} \begin{aligned} P(X_1 > 3 \mid X_1 + X_2 > 3) & = \frac{P(X_1 + X_2 > 3 \mid X_1 > 3)P(X_1 > 3)}{P(X_1 + X_2 > 3)} \\ & = \frac{P(X_1 > 3)}{P(X_1 + X_2 > 3)} \text{ since %#%#% with prob. 1} \\ & = \frac{e^{-1.5}}{P(X_1 + X_2 > 3)} \text{ using Exp(%#%#%) cdf} \\ \end{aligned} \end{equation}$$

Usted puede fácilmente evaluar $X_2 > 0$ acondicionado en $\frac{1}{2}$ y la aplicación de la ley de total probabilidad. Pero si insisten en pensar en términos de un proceso de Poisson, usted puede haga lo siguiente.

En un proceso de Poisson con tasa de $P(X_1 + X_2 > 3)$, en el caso de que la suma de los dos primeros inter-llegada veces $X_2$ es mayor que 3 es precisamente el caso de que 1 o menor número de llegadas se produjo en el período de tiempo de hasta 3.

Desde $\lambda$, el número de llegadas de tiempo de 0 a 3, que vamos a llamar a $X_1 + X_2$, se distribuye como de Poisson($\lambda = \frac{1}{2}$). Entonces, tenemos

$N(3)$$

y por lo tanto

$$\frac{e^{-1.5}}{P(X_1 + X_2 > 3)} = \frac{e^{-3/2}}{\frac{5}{2}e^{-3/2}} = \frac{2}{5} = 0.4$$

Answer 2

Z denota el punto en el tiempo cuando ocurrió el segundo evento de Poisson. Z> 3 significa que el segundo evento de Poisson ocurrió después del tiempo 3, y por lo tanto es equivalente a Q <2 (Q es el número de eventos de Poisson hasta el tiempo 3) y no a Q> = 2 como usted calculó. Si divides 0.223 por 1-0.442 = 0.558, obtendrás la respuesta correcta 0.4.