Orden en una moneda sesgada

Question

Situación: Considere el clásico experimento de lanzar una moneda. Queremos explorar si la moneda está sesgada. Moneda 1: Se lanza la moneda $50$ tiempos. Recibimos $20$ T y luego $30$ H, en esa secuencia Moneda 2: Se lanza la moneda $50$ tiempos. Recibimos $4$ T $6$ H, $4$ T $6$ H, $4$ T $6$ H, $4$ T $6$ H, $4$ T $6$ H en esa secuencia.

P1 : ¿Es la probabilidad de que la moneda 1 y la moneda 2 estén sesgadas es la misma? Mi intuición me dice que sí, porque cada evento es independiente, así que el orden de los eventos no importa en absoluto.

P2: Tengo un lanzamiento de moneda donde las observaciones no son independientes. P(H | Lanzamiento anterior es cola) = $0.6$ y P(T | Cabeza anterior) = $0.5$ ¿Qué tipo de prueba estadística puedo utilizar para comprobar la probabilidad de que la moneda esté sesgada?

Answer 1

Su objetivo aquí es probar la probabilidad marginal de una cabeza en sus monedas. Sin embargo, debes tener cuidado con tus suposiciones. Dices en tu pregunta que los lanzamientos de las monedas son independientes, pero los datos de las monedas lo falsifican claramente. El modelo estándar de lanzamiento de monedas con resultados independientes se basa en una suposición de intercambiabilidad de los resultados, que puede comprobarse mediante una prueba de permutación (por ejemplo, una prueba de carreras). Para un proceso binario con veinte colas y treinta cabezas observadas, la distribución del número de ejecuciones se muestra en el siguiente gráfico ( R código de este gráfico más abajo).

En sus datos, la Moneda 1 tiene dos carreras y la Moneda 2 tiene diez carreras. Dos ejecuciones está tan lejos en las colas que no obtenemos una sola generación aleatoria de esto en $10^6$ simulaciones, lo que arroja un valor p simulado de cero. Diez ejecuciones están tan lejos en las colas que obtenemos un valor tan o más extremo que éste sólo siete veces en $10^6$ simulaciones, lo que arroja un valor p simulado cercano a cero. En resumen, para ambas monedas (pero especialmente la primera), hay extremadamente una fuerte evidencia de que la intercambiabilidad no se mantiene, por lo que los lanzamientos no son independientes (incluso cuando condicionamos la probabilidad marginal de una cabeza).

Dado que sus lanzamientos de moneda muestran evidencia de no intercambiabilidad, necesita basar su análisis en algún tipo de modelo más general (por ejemplo, un modelo de auto-regresión binaria (BAR)). Ahora bien, es posible que siga encontrando que la evidencia de la probabilidad marginal de salir cara es la misma en ambos casos, bajo un modelo más general. Sin embargo, no puede basarse en una suposición de independencia de los lanzamientos, que está claramente falsificada por los datos observados.

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Código R para este gráfico:

#Define a function to calculate the runs for an input vector
RUNS <- function(x) { n <- length(x);
                      R <- 1;
                      for (i in 2:n) { if(x[i] != x[i-1]) { R <- R+1; } }
                      R }

#Simulate the runs statistic for k permutations
k <- 10^6;
set.seed(12345);
RR <- rep(0, k);
for (i in 1:k) { x_perm <- sample(x, length(x), replace = FALSE);
                 RR[i] <- RUNS(x_perm); }

#Generate the frequency table for the simulated runs
FREQS <- as.data.frame(table(RR));

#Plot estimated distribution of runs
library(ggplot2);
ggplot(data = FREQS, aes(x = RR, y = Freq/k, colour = 'Red', fill = 'Red')) +
       geom_bar(stat = 'identity') +
       theme(legend.position = 'none') +
       labs(title ='Plot of Distribution of Runs',
       subtitle = '(Simulation using 1,000,000 generated values)',
       x = 'Runs', y = 'Estimated Probability');

Answer 2

Ya se ha dado una respuesta detallada bajo el supuesto de que se cuestiona la independencia de los lanzamientos de moneda. He interpretado la pregunta en el sentido de que la hipótesis de la independencia se mantiene y que usted sólo quiere considerar la posibilidad de que la moneda esté sesgada para alejarse de la distribución uniforme para $p=\frac12$ .

En este caso, la respuesta a la pregunta $1$ es afirmativa. En este experimento, el número de cabezas es un estadística suficiente para el parámetro $p$ de interés, la probabilidad de que la moneda salga cara. Es decir, contiene toda la información sobre este parámetro que contiene toda la serie de datos. Formalmente, la probabilidad del parámetro condicionada al estadístico es la misma que la probabilidad del parámetro condicionada a la totalidad de los datos. Por lo tanto, el orden en el que se producen los resultados no supone ninguna diferencia en sus creencias posteriores sobre el parámetro.

Answer 3

Supongamos que tengo n ensayos Bernoulli independientes que se pueden simular con la distribución Binomial. Es decir, tengo una variable aleatoria $X \sim Bin(n,p)$ . El pmf para esto viene dado por $f(k,n,p) = \binom{n}{k} (p)^{k}(1-p)^{n-k} $

Ahora...si quiero simular digamos 50 lanzamientos de monedas...déjame hacer eso...en digamos Python como lo siguiente...

importar numpy como np importar random

random.seed(42)

n_flips = 25
p =.50
coin_flips = np.random.choice([0,1],n_flips,[(1-p),p])

cómo se ve esto

Out[6]: 
array([0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1,
       1, 1, 1])

Por suerte para nosotros sabemos algo sobre la media de la distribución binomial.

$$ E(X) = np$$

Así que si tengo la hipótesis de que esta es una moneda justa. ¿Cómo podemos usarla para probarla? Si la moneda está sesgada entonces podríamos observar que la media es diferente en promedio. Por lo tanto, si tenemos dos monedas, si restamos las dos medias, observaremos que la diferencia es mayor de lo que cabría esperar. Entonces se compara esto con un valor p. Generalmente se denomina test A/B