, entonces

Question

Deje $f(x)\in C_\infty(\mathbb{R})$, y en una sucesión de derivados $f^{(n)}(x)$ converge en $C_{[a,b]}$ a una función $\phi(x)$ en cada uno de los intervalos finitos. Mostrar que $\phi(x)=Ce^x$ donde $C$ es una constante.

Sé que $Ce^x\in C_{\infty}$ pero no puedo demostrar $\phi(x)=Ce^x$. Creo que el $\max|f_n-f|=\max|{Ce^x-Ce^x}|=0 $$n>N\in\mathbb{N}$. Y sé que $Ce^x\in C_[a,b]$, una vez que se continua en el $\mathbb{R}$.

Pregunta:

1) ¿Cómo puedo demostrar $\phi(x)=Ce^x$? Y no, por ejemplo,$\sin (x)$?

2) ¿Cuál es la intención de esta pregunta?

Answer 1

Que $x\in \mathbb{R}$. Sabemos que $f^{(n)}\to \phi$ uniformemente en $[0,x]$. Así $\phi$ es continua en $[0,x]$ y $$\lim_{n\to \infty}\int_0^xf^{(n)}(t)dt= \int0^x\phi(t)dt $ $ donde intercambio integral y límite permitido por la convergencia uniforme sobre un dominio compacto. Por otro lado, por el Teorema fundamental del cálculo, $$\lim{n\to \infty} \int0^xf^{(n)}(t)dt=\lim{n\to \infty}\left[ f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(0)\right] =\phi(x)-\phi(0)$ $ ahí $$\int_0^x \phi(t)dt=\phi(x)-\phi(0) $ $ donde $\phi:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es una función continua. Ahora basta con resolver la ecuación anterior para $\phi$.

Answer 2

Recordar este teorema:

Deje $I = [a,b]$ $f_n : I \to \mathbb{R}$ una secuencia de funciones diferenciables tales que la secuencia de los derivados $(f_n')_n$ converge uniformemente a una función $g : I \to \mathbb{R}$. También se $\exists x_0 \in I$ de manera tal que la secuencia de $(f_n(x_0))_n$ converge. A continuación, $(f_n)_n$ converge uniformemente a una función derivable $f : I \to \mathbb{R}$$f' = g$.

Este teorema puede ser extendido para las funciones de $f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ al restringir el dominio de a $[-R, R]$, dicen. Sólo perdemos la convergencia uniforme de $(f_n)_n$$f$$\mathbb{R}$, pero pointwise convergencia sigue siendo.

Desde $f_n' \to \phi$ $f_n \to \phi$ uniformemente, llegamos a la conclusión de que $(f_n)_n$ converge pointwise para una función derivable $\psi$ tal que $\psi' = \phi$. Pero ya sabemos que $f_n \to \phi$ uniformemente por lo que, necesariamente,$\psi = \phi$.

Por lo tanto

$$\phi' = \phi$$

y las únicas funciones que cumplan esta se $\phi(x) = Ce^x$.

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Detalles adicionales:

La hipótesis de que el ejercicio implica que el$f_n \to \phi$$f_n' \to \phi$$C^\infty(\mathbb{R})$, lo que significa convergencia uniforme sobre $\mathbb{R}$. A continuación, en particular, por los $R>0$ tenemos $f_n|_{[-R, R]} \to \phi|_{[-R, R]}$ $f_n'|_{[-R, R]} \to \phi|_{[-R, R]}$ uniformemente en $[-R, R]$. En particular, no existe $x_0 \in [-R, R]$ tal que $f_n|_{[-R, R]}(x_0) \to \phi|_{[-R, R]}(x_0)$. El teorema implica que existe una función derivable $\psi : [-R, R] \to \mathbb{R}$ tal que $f_n|_{[-R, R]}(x_0) \to \psi$ uniforme y $\psi' = \phi|_{[-R, R]}$. Pero ya $f_n|_{[-R, R]} \to \phi|_{[-R, R]}$ uniformemente por lo $\psi = \phi|_{[-R, R]}$. Por lo tanto llegamos a la conclusión de $\phi'|_{[-R, R]} = \psi' = \phi|_{[-R, R]}$.

Desde $R > 0$ fue arbitraria, llegamos a la conclusión de $\phi' = \phi$. Ahora esto implica $\psi(x) = Ce^x$. Véase, por ejemplo, aquí, el más simple argumento es la diferenciación $\phi(x)e^{-x}$:

$$\frac{d}{dx}\phi(x)e^{-x} = \phi'(x)e^{-x} - \phi(x)e^{-x} =\phi(x)e^{-x} - \phi(x)e^{-x} = 0 $$

Por lo $\phi(x)e^{-x} \equiv C$ o $\phi(x) =Ce^{-x}$.