¿Es una categoría natural en el que los morfismos son los operadores de derivados?

Question

Estoy estudiando la relatividad general. Como yo entendemos en la actualidad la teoría, hay una parte donde tenemos un (diferenciable) colector $M$, y definir un campo de vectores en $M$ a ser una función de $v : (M \to \Re) \to (M \to \Re)$ la satisfacción de:

1. (linealidad) $v(\alpha f + \beta g) = \alpha v(f) + \beta v(g)$
2. (Leibniz) $v(f \cdot g) = f \cdot v(g) + g \cdot v(f)$

también podríamos necesitar restringir nuestra atención a $v$ que son continuas. A continuación, podemos mostrar que el conjunto de funciones de $v$ que satisfacen estas propiedades forman un espacio vectorial, en el cual se pueden generalizar a partir de campos vectoriales para tensor de campos. (Entonces, dada una métrica en $M$ podemos derivar natural de la noción de diferenciación en el tensor de campos, en que punto estamos listos para el estado de algunas de las propiedades que el espacio-tiempo métricas y el estrés de la energía tensor de obedecer.)

Mi pregunta es, hay una (naturales) categoría en la que los campos vectoriales son sólo endomorphisms en $(M \to \Re)$? Por ejemplo, la condición (1) anterior, se plantea de forma automática si se requiere que el $v$ ser un endomorfismo de $(M \to \Re)$ $\Re$- Vect; hay una categoría conocida tal que las condiciones (1) y (2) surgen de forma automática si requerimos $v$ a ser un endomorfismo de $(M \to \Re)$?

Obviamente, yo podría simplemente definir una categoría donde los objetos son espacios vectoriales y los morfismos son lineales mapas que suceder para satisfacer la regla de Leibniz [EDIT: Esto está mal, como ha señalado Eric siguiente: dadas dos $v$ que satisfacen la propiedad de arriba, que su composición no, en general, satisfacer las Leibniz propiedad]; mi pregunta es, se trata de una categoría conocida (o, hay una simple variación en mi pregunta que me permite ver campos vectoriales en una categoría de la luz)?

Como un ejemplo del género de duda que yo estoy pidiendo, recordemos que un espacio vectorial sobre un campo $K$ con vectores $V$ puede ser visto como una función de $* : K \to V \to V$ en la satisfacción de un puñado de axiomas, o simplemente como un anillo homomorphism entre el $K$ y el anillo de grupo endomorphisms en $V$. En otras palabras, podemos especificar un espacio vectorial como una función de obedecer a un grupo de axiomas, o podemos optar por una de morfismos entre el derecho de los objetos en la categoría de derecho (en este caso, el $\phi : K \to_\text{Ring} (V \to_\text{Group} V)$), punto en el que los axiomas son gratuitos. En el caso de espacios vectoriales, yo podría haber definido una categoría en la que todos los morfismos son espacios vectoriales, pero lo que probablemente no se han dado cuenta de que yo estaba tratando de pedir un anillo homomorphism entre los escalares del campo y el anillo de endomorphisms del vector de grupo. En mi pregunta aquí sobre una categoría donde morfismos corresponden a derivados de los operadores, yo estoy esperando una respuesta análoga a "usted está buscando un anillo de homomorphism entre el$K$$V \to_\text{Group} V$".

Answer 1

En lugar de hablar de los colectores vamos a hablar un poco acerca de campos vectoriales sobre afín esquemas. Por el bien de reducir al mínimo detalle técnico de mi definición es que la categoría de $\text{Aff}$ de los afín esquemas es justo lo contrario de la categoría $\text{CRing}$ de anillos conmutativos, y si $R$ es un anillo conmutativo, a continuación, $\text{Spec } R$ solo será mi nombre para $R$, pero considerada como un objeto en el frente de la categoría.

Definición: Un campo de vectores en $\text{Spec } R$ es una derivación $D : R \to R$; es decir, una función lineal de satisfacciones $D(ab) = a D(b) + D(a) b$ todos los $a, b \in R$.

La intuición aquí, como en el colector caso, es que las derivaciones son "infinitesimal de automorfismos" de $R$, o, equivalentemente, de $\text{Spec } R$. La encantadora beneficio de la conmutación de trabajar con afín programas es la de que es posible hacer esta intuición completamente precisa de la siguiente manera.

Ejercicio: Una derivación $D$ sobre un anillo conmutativo $R$ es la misma cosa como un $\epsilon$-lineal homomorphism $R[\epsilon]/\epsilon^2 \to R[\epsilon]/\epsilon^2$ que se reduce a la identidad de $\bmod \epsilon$.

En particular, la regla de Leibniz es equivalente a la afirmación de que el mapa de $I + \epsilon D$ preserva la multiplicación, y la composición de homomorphisms como la de arriba corresponde a la suma de derivaciones. Ver esta entrada de blog para obtener más información sobre qué se puede hacer desde esta perspectiva, incluyendo una limpieza conceptual prueba de que el conmutador de dos derivaciones es una derivación.

Geométricamente la definición anterior corresponde a pedir un mapa de$\text{Spec } R \times \text{Spec } \mathbb{Z}[\epsilon]/\epsilon^2$$\text{Spec } R$; usted puede pensar de $\text{Spec } \mathbb{Z}[\epsilon]/\epsilon^2$ como el recorrido por el vector tangente" y de esta definición como pidiendo un vector tangente a la identidad en el "espacio" (sería un esquema afín si la categoría de afín a los programas fueron cartesiana cerrada, que no; sin embargo es un presheaf en la categoría de afín a sistemas, simplemente, no es representable uno) de endomorphisms de $\text{Spec } R$.

Más generalmente, se puede contemplar homomorphisms $R \to S[\epsilon]/\epsilon^2$ por dos anillos de $R$$S$, o, equivalentemente, $\epsilon$- lineal homomorphisms $R[\epsilon]/\epsilon^2 \to S[\epsilon]/\epsilon^2$; esto funciona para un mapa de la forma $f + \epsilon g$ donde $f : R \to S$ es un homomorphism y $g : R \to S$ es lineal en el mapa de satisfacciones

$$g(ab) = f(a) g(b) + g(a) f(b).$$

Esta es una útil generalización de la noción de derivación; por ejemplo puede ser utilizado para definir Zariski tangente espacios. Se puede pensar en él como describir un vector tangente a $f$ en el "espacio" de los mapas de$R$$S$, o el equivalente de $\text{Spec } S$$\text{Spec } R$. El objeto correspondiente en la geometría diferencial es un par formado por un mapa de $f : M \to N$ de lisa colectores y una sección de la retirada de $f^{\ast}(TN)$ de la tangente paquete de $N$$M$.

Usted puede tratar de hacer este tipo de cosas funcionan para suavizar los colectores, pasando un poco más complicados de la categoría que incluye suave colectores, así como varios "infinitesimal" espacios; véase suave álgebra para algunos detalles.

Sobre el tema más general de los enfoques para el tensor de campos, usted puede disfrutar rozando Kolar, Michor, y eslovaca es Natural de las Operaciones en la Geometría Diferencial.