Soluciones enteras positivas a $a^3 + b^3 = c^4$

Question

Sea $n$ y $m$ enteros positivos. Sabemos que

$n^3 + m^3 = n^3 + m^3$

Multiplicamos ambos lados por $(n^3 + m^3)^3$; en el lado izquierdo distribuimos, y en el lado derecho usamos la regla de suma de potencias;

$(n^4 + nm^3)^3 + (m^4 + mn^3)^3 = (n^3 + m^3)^4$

Así obtenemos un conjunto infinito de soluciones con

$a = n^4 + nm^3$

$b = m^4 + mn^3$

$c = n^3 + m^3$

¿Existen soluciones para la ecuación (en el título) que no se puedan expresar en esta forma?

Answer 1

Existen muchas otras soluciones $(a,b,c)$. Primero, comience con enteros arbitrarios $u,v>0$ (puede agregar la condición $\gcd(u,v)=1$ para producir familias de soluciones infinitas no superpuestas). Luego, escriba $$u^3+v^3=\prod_{r=1}^k\,p_r^{t_r}\,,$$ donde $p_1,p_2,\ldots,p_k$ son números primos naturales distintos dos a dos y $t_1,t_2,\ldots,t_k\in\mathbb{Z}_{> 0}$. Luego, resuelva para $x_1,x_2,\ldots,x_r\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ a partir de las congruencias $$3x_r\equiv -t_r\pmod{4}$$ para todo $r=1,2,\ldots,k. (Bueno, esto es bastante fácil y deberías obtener $x_r\equiv t_r\pmod{4}$ para cada $r=1,2,\ldots,k$.) Luego, tome $$a:=u\,\prod_{r=1}^k\,p_r^{x_r}\,,\,\,b:=v\,\prod_{r=1}^k\,p_r^{x_r}\,,\text{ y }c:=\prod_{r=1}^k\,p_r^{\frac{3x_r+t_r}{4}}\,.$

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Por ejemplo, tome $u:=3$ y $v:=5$. Entonces, $$u^3+v^3=27+125=152=2^3\cdot 19\,.$$ Por lo tanto, podemos tomar $$a:=3\cdot2^{4\alpha+3}\cdot19^{4\beta+1}\,,\,\,b:=5\cdot 2^{4\alpha+3}\cdot19^{4\beta+1}\,,\text{ y }c:=2^{3\alpha+3}\cdot 19^{3\beta+1}\,,$$ donde $\alpha,\beta\in\mathbb{Z}_{\geq0}$.

La respuesta de Peter también se puede generar de esta manera. Primero, comience con $u:=13$ y $v:=14$. Luego, $$u^3+v^3=3^4\cdot 61\,.$$ Esto lleva a $$a:=13\cdot 3^{4\alpha}\cdot 61^{4\beta+1}\,,\,\,b:=14\cdot3^{4\alpha}\cdot 61^{4\beta+1}\,,\text{ y }c:=3^{3\alpha+1}\cdot 61^{3\beta+1}\,,$$ donde $\alpha,\beta\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$. La respuesta de Peter corresponde a $\alpha=0$ y $\beta=0$.

Incluso el ejemplo del OP comienza con $u:=m$ y $v:=n$. Luego, tome cada $x_r$ como $t_r$, de modo que $$\prod_{r=1}^k\,p_r^{x_r}=\prod_{r=1}^k\,p_r^{t_r}=m^3+n^3\,.$$ Esto da $$a:=m\left(m^3+n^3\right)\,,\,\,b:=n\left(m^3+n^3\right)\,,\text{ y }c=m^3+n^3\,.$$

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Además, si $(a,b,c)$ es una solución, entonces $(s^{4l}a,s^{4l}b,s^{3l}c)$ es una solución para cualquier entero positivo $s$ y $l$. Puedes obtener todas las soluciones $(a,b,c)\in\mathbb{Z}_{>0}^3$ a la ecuación $a^3+b^3=c^4$ de esta manera.

Answer 2

$$793^3+854^3=183^4$$ y $$183$$ no es la suma de dos cubos.