Donde están las figuras geométricas en los "geometría avanzada" de los libros de texto?

Question

Se me vuelva a molestarte. Desde mi último post empecé a mirar algunos aparentemente "grave" matemáticas para el estudio de antecedentes. Accidentalmente me fui a una librería de la universidad y llegó a través de algunos "geometría diferencial", "la geometría algebraica", "geométrica" análisis, etc. Yo soy un escritor, y mis habilidades de matemática se mantiene en pre-cálculo de nivel, pero yo soy (doblemente) confía en que el sujeto hace mucho tiempo aprendí llamada "geometría analítica" contiene un buen puñado de figuras geométricas y sistemas de coordenadas. Yo estaba realmente sorprendido de que los "geometría avanzada" los libros I al azar recogido contienen muy pocas figuras, y radicalmente diferente de lo que yo esperaba, si tienen alguna. Aunque yo trabajo con la literatura y los idiomas, las descripciones en los libros de texto de matemáticas me suena igual que Alienese. Tenía la esperanza de que las figuras geométricas podría ser esclarecedor, de alguna manera, y yo estaba tan, tan mal.

Bueno, esta es mi pregunta: ¿dónde están las figuras geométricas en los "geometría avanzada" de los libros de texto?

PS lo mismo se aplica a lo que he oído acerca de la topología. He aprendido de la wikipedia en la que los matemáticos son como el cambio de tazas de café con donuts en la topología, así que supongo que yo podría ver las cargas de "tazas y donuts", o cosas similares, en la topología de libros de texto. Yo estaba un poco decepcionado cuando abro un libro que se llama "Introducción a la Topología General", todo lo que he leído es sobre un conjunto de cosas.

PS2 Cuando yo estaba vagando alrededor de la web, me enteré de que un prestigioso matemático llamado Shinichi Mochizuki prueba "abc conjetura". La conjetura abc que he leído de wikipedia suena bastante "álgebra" para mí, pero sobre Shinichi Mochizuki la página de inicio se llamó a sí mismo "inter-universal aparejador". Aprovecho que "inter-universal" es como algo muy poderoso. Pero ¿cómo es que un aparejador resuelve un problema de álgebra?

Answer 1

Geometría analítica, inventado por Descartes y Fermat, fue el comienzo de la geometría algebraica y la geometría diferencial.
Sus contemporáneos Desargues del trabajo, la matematización de la detección por los pintores del Renacimiento de la perspectiva, también fue una fuente importante para la rama de la geometría algebraica se llama geometría proyectiva, pero tuvo menos influencia hasta que fue redescubierto por Poncelet (en ruso cautiverio como prisionero de guerra, después de que Napoleón 's de la derrota).

Geometría analítica es aún indispensable, si se quiere entender estas ramas de las matemáticas.
Y los dibujos son de capital en el estudio y comprensión de la moderna geometría algebraica: pocas veces he escuchado una charla en una conferencia en la geometría algebraica, que no fue acompañado por ellos, con algunos matemáticos ejercicio de verdadero talento artístico y hacen uso intensivo de tiza de colores, o más recientemente, de la hermosa animaciones por ordenador.

Por diversas razones esto no siempre se refleja en los libros: el ejemplo más flagrante de ser Grothendieck y Dieudonné del Eléments de Géométrie Algébrique, que puso las bases de la moderna Geometría Algebraica hace seis décadas y no contiene un solo dibujo.
Tenga en cuenta sin embargo que los excelentes libros de texto por Fulton, Hartshorne, Qing Liu, Perrin, Reid, Shafarevich, ... contienen una gran cantidad de magníficas ilustraciones.

Por último, me parece lamentable que muchos jóvenes estudiantes de la geometría algebraica no están expuestos a los cálculos de geometría analítica: muchas preguntas en este sitio son, obviamente, de excelente e inteligente a los estudiantes que, por desgracia, han sido expuestos a mucha conceptos abstractos, pero la falta de práctica en la tierra de los cálculos, por lo que tienen dificultad en, digamos, demostrando que un quadric en tres el espacio es birational a un avión.

Una de las dificultades de la moderna geometría algebraica, y la causa de su reputación como un sujeto, es la necesidad de aprender a usar bastante abstracto herramientas (cohomology de poleas, álgebra conmutativa,...) pero también al mismo tiempo ser capaz de comprender la hermosa resultados clásicos como místico de Pascal hexagrama o de Cayley-Bacharach del obligado en la dimensión completa del sistema lineal asociado a un divisor en una curva.

Answer 2

Esto me molesta demasiado. Las imágenes no proporcionan pruebas rigurosas de nada (por lo general), pero que sin duda puede ser muy útil en la explicación de las ideas detrás de una prueba.

Sospecho que la escasez de imágenes se deriva de una combinación de los siguientes:

(1) Algunos autores no son muy buenos dibujos, y no tiene a nadie para ayudarlos. El dibujo es una habilidad especializada, y no necesariamente se correlacionan bien con la capacidad matemática. Profesional de ilustradores son caros.

(2) Las herramientas que se utilizan para producir muchos de avanzada libros no son muy buenos para el dibujo (en mi opinión, de todos modos). Un montón de gente en el uso de paquetes como TikZ y la Asíntota, que esencialmente requiere que usted escriba un programa que describa la imagen. Es un trabajo duro.

(3) Muchos matemáticos amor de abstracción y generalidad. Imágenes de dos y tres dimensiones las cosas no son tan difíciles de dibujar, pero el dibujo de $n$-dimensional o infinito-dimensional de los objetos es mucho más difícil.

La deficiencia no es universal, hay algunos ejemplos de libros donde las imágenes juegan un papel importante. Recomiendo este libro por Tristán Needham, por ejemplo.

Una geometría diferencial libro con un montón de buenas fotos es este uno por Gray. Su título es "la Moderna Geometría Diferencial", pero sospecho que algunas personas consideran que la vieja usanza, porque es muy abstracto. De todos modos, pasado de moda o no, me gusta.

Otro notable libro visual es este uno por Koenderink. Podría decirse que no es un "matemáticas avanzadas" del libro, pero las fotos son maravillosas. Casi todos son dibujados a mano (por el autor, creo). El libro incluye un capítulo que trata de enseñarnos cómo sacar buenas fotos.

Answer 3

Marcel de Berger 'Una Vista panorámica de la Geometría de Riemann' es muy visual (y excelente !). Es más bien un libro completo, pero con menos pruebas que más abstracto de los textos.

Vladimir Arnold libros sobre ecuaciones diferenciales y sus 'Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica' están muy bien expuestos. Su libro sobre la 'Teoría de la Catástrofe' contiene más gráficos.

Pero para empezar, quizás la que más introductorio y general del texto será más apropiado, como Ian Stewart, muy visual 'Conceptos de Matemática Moderna'.

Ya que estamos, hacer listas de avanzada de los últimos libros muy bonitas ilustraciones (en colores), ver :
- Mumford del 'Indra perlas'
- Audrey Terras' 'Un paseo por el jardín del gráfico de la función zeta' : un proyecto de el libro está disponible en el enlace allí.

Los fractales libros ofrecen quizás el más bonito de los gráficos :
- Peitgen, Jürgens, Saupe del Caos y los Fractales'
- Prusinkiewicz y Lindenmayer de 'La Algorítmica de la Belleza de las Plantas
- Ebert, Musgrave, Peachey, Perlin y Worley del 'Texturizado Y Modelado' (conjunto de planetas con satélites !)
pero esta es, quizás, llegar demasiado lejos de la inicial de la asignatura...

Las distintas presentaciones puede venir de los favoritos de las referencias de los mismos autores : Klein y Poincaré (y muchos otros), frente a los más abstractos (axiomático) las escuelas...