Prueba de producto regla $(fg)^{(n)}$

Question

Fui a través de la inducción de las pruebas y son bonitos. Estoy buscando una alternativa.

Para dar un poco de contexto, por favor considere el siguiente ejemplo. A expandir $(x+a)^n$ pensamos en él como una combinatoria problema : $$(x+a)(x+a)\cdots (x+a)$$ To get $x$ plazo necesitamos elija $x$ a partir de cualquier producto y $a$ a la del resto. Por lo tanto el $x$ el término se $\binom{n}{1}xa^{n-1}$
Para obtener el $x^2$ plazo tenemos que elegir el $x$ a partir de cualquiera de los dos productos y $a$ al resto: $\binom{n}{2}x^2a^{n-2}$

Me pregunto si el producto de la regla pueden ser vistos usando la combinatoria $$\begin{align} (fg)^{'} &=f'g+fg'\\ (fg)^{''}&=(f'g+fg')^{'} = f''g+2f'g'+fg'' \end{align}$$ Esto se ve casi igual a la anterior problema de la expansión de $(x+a)^n$. Estoy bastante seguro de que estos dos problemas son idénticos, pero no soy capaz de hacer la conexión. Alguna ayuda ?

Answer 1

Un "recuento de argumento" podría ser el siguiente. Deje $\mu$ ser el operador de multiplicación y deje $D$ ser el operador de la derivada. A continuación, el producto habitual de la regla dice que se tiene la siguiente identidad.

$$D\mu = \mu(D\times 1+1\times D)$$

Esto significa que, por inducción, que $$D^n\mu = \mu(D\times 1+1\times D)^n$$

Ahora expandir el lado derecho usando el teorema del binomio! Esta es la razón por la que ambas pruebas son las mismas.

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La inducción, por supuesto. Supongamos que es cierto que

$$D^n(f\cdot g) = \sum_{i=0}^n \binom ni D^if\cdot D^{n-i} g$$

La aplicación de $D$ consigue

$$D^{n+1}(f\cdot g) = \sum_{i=0}^n \binom ni D(D^if\cdot D^{n-i} g)$$

Aplicar la base de este caso para obtener

$$D^{n+1}(f\cdot g) = \sum_{i=0}^n \binom ni D^{i+1}f\cdot D^{n-i} g+D^if\cdot D^{n-i+1} g.$$

Ahora uso la de Pascal, la regla para obtener la inducción de paso. La nota de la prueba es el mismo que para el binomio.

Answer 2

Define los tres operadores: $D_\times$ representa la diferenciación de un producto; $D_1$ representa la diferenciación del primer término del producto; y $D2$ representa la diferenciación del segundo término. Entonces el producto simple regla $(fg)' = f'g + fg'$ puede escribirse $D\times = D_1 + D_2$. Observe que $D_1$ y $D_2$ son conmutativa, por lo que se puede aplicar el teorema del binomio a $(D_1 + D_2)^n$.

Answer 3

(Como de costumbre) $f^{(n)}$ indica el $n$th derivado de la $f$ al $n>0,$ $f^{(0)}=f.$

Hay $n$ ($n$ diferenciaciones ) para obtener de $(fg)^{(0)}$ $(fg)^{(n)}.$

Después de la $m$th paso ( $m\geq 0$ ), tenemos la suma de una secuencia finita de (no necesariamente diferentes) términos, cada uno de la forma $f^{(j)}g^{(m-j)}$ algunos $0\leq j\leq m.$ $(m+1)$th paso reemplaza cada término con el 2 términos de $f^{(j+1)}g^{(m-j)}$ $f^{(j)}g^{(m+1-j)}.$

Después de $n$ pasos de un plazo $f^{(j)}g^{(n-j)}$ aparecerá $\binom {n}{j}$ veces porque no se $\binom {n}{j}$ diferentes "caminos" a través de la $n$ pasos, que será el resultado de tal plazo.