¿Existen espacios vectoriales con bases incontables?

Question

¿Existen espacios vectoriales con bases incontables? Estaba pensando en algo como $L^1(\mathbb R)$ . A podría imaginar que $\varphi_x:\mathbb R\to \mathbb R$ definido como $\delta_x(y)=1$ si $y=0$ et $0$ de lo contrario puede generar toda la función y es incontable. Además hay lineales independientes (pero no estoy seguro).

Pero para una base incontable, cómo escribiríamos por ejemplo $\sum_{x\in\mathbb R}f(x)\delta_x$ ? Parece raro, ¿no?

En general, si $V$ tiene una base inagotable $\{e_t\}_{t\geq 0}$ y si $v\in V$ Cómo escribir $$v=\sum_{t\geq 0}v_te_t,\ \ ?$$ Supongo que la notación anterior no tiene sentido.

Answer 1

Para cualquier conjunto $X$ , considere los mapas $f:X \rightarrow \mathbb R$ tal que $f(x)=0$ para todos menos un número finito de $x$ . Estos forman un espacio vectorial, con base $\{\delta_x\}$ , donde $\delta_x(x)=1$ et $\delta_x(y)=0$ cuando $x \neq y$ . Así, el número de elementos de la base es el mismo que la cardinalidad de $X$ . Tome $X$ incontable, y este espacio tendrá una base incontable.

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Puede surgir cierta confusión al intentar sumar un número infinito (por ejemplo, incontable) de vectores. Sin embargo, ¡no hacemos eso! Una base permite descomponer cualquier vector en una combinación lineal de vectores base, y las combinaciones lineales son finito por definición (o, de forma equivalente, infinito, pero que sólo tiene un número finito de coeficientes distintos de cero).

Answer 2

Cabe destacar que hay dos tipos de bases que se utilizan habitualmente.

Una base de Hamel es aquella en la que cualquier elemento puede escribirse como finito combinación lineal de elementos de la base. Una base de Schauder es similar, pero se toma el cierre del tramo lineal y, por tanto, se necesita una topología.

Supongo que está buscando una base Hamel incontable.

Dejemos que $V = \{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} | f^{-1} (\{ 0\}^c) \text { is finite}\}$ con la habitual suma de funciones y multiplicación escalar.

No es difícil ver que $B = \{ 1_{\{x\}} \}_{x \in \mathbb{R}}$ es una base y es incontable.

Answer 3

Toma el espacio $F$ de todas las funciones de $\mathbb R$ en sí mismo que toman valores distintos de cero sólo en un número finito de puntos. Para cada $x\in\mathbb R$ , dejemos que $$e_x(y)=\begin{cases}1&\text{ if }y=x\\0&\text{ otherwise.}\end{cases}$$ Entonces el $e_x$ forman una base incontable de $F$ .

Answer 4

Sí, los hay. En la definición de un espacio vectorial puedes tener tantos vectores base como quieras siempre que sean linealmente independientes. Exigimos que la suma para expresar un vector en términos de la base tenga un número finito de términos no nulos, por lo que tu notación de suma tiene sentido. Puedes considerar los reales como un espacio vectorial sobre los racionales. La base puede tener un número racional en ella, pero se necesitan incontables reales para que cualquier real pueda expresarse como una combinación lineal finita. El requisito de que las sumas sean finitas evita cualquier complicación de convergencia de sumas infinitas.

Answer 5

$\ell^p$ Los espacios también tienen bases incontables.

Es decir, el conjunto de estas secuencias geométricas

$$\{(1,t,t^2, t^3, \ldots) \in \ell^p: t \in \langle 0, 1\rangle\}$$

es linealmente independiente.

$C^k(\mathbb{R})$ Los espacios también tienen bases incontables. El conjunto

$$\{e^{\lambda x} : \lambda \in \mathbb{R}\}$$

es linealmente independiente.

Los espacios anteriores tienen en realidad una dimensión $c$ .

Por otro lado, el espacio $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ de las funciones $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tiene dimensión $2^c$ . Esto se debe a que todo espacio vectorial $V$ en $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ con $\dim V \ge c$ tiene de hecho $\dim V = \operatorname{card} V$ .