Solucionar $\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+5)}=0.8$

Question

Resolver: $$\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+5)}=0.8$$

Esto es tomado de uno de los TAU pruebas de ingreso (yo tengo uno en 2 semanas :) )

Así, la verdad no me reconoce nada especial aquí, excepto que hay algunos similiraty entre algunos pares de denominadores, mi intuation me está diciendo que me acaba de multipy todo y tratar de resolver, sino que se ve como un gran muertos polinomio.

Hay una elegante manera de resolver esto?

Solución:

$$\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+5)}=0.8$$

$$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+5}=0.8$$ $$4=0.8(x+1)(x+5)$$ $$4x^2+24x=0$$ $$4x(x+6)=0$$

Solución: $x_1=0$ $x_2=-6$

Sin duda muy elegante! :)

Answer 1

SUGERENCIA

Tenemos que

$$\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+5)}=$$

$$=\frac{1}{(x+1)}\color{red}{-\frac{1}{(x+2)}+\frac{1}{(x+2)}-\frac{1}{(x+3)}+\frac{1}{(x+3)}-\frac{1}{(x+4)}+\frac{1}{(x+4)}}-\frac{1}{(x+5)}$$

Answer 2

Hacer las ecuaciones más simétrica por el cambio de $z:=x+3$ y simplificar

$$\frac{1}{(z-2)(z-1)}+\frac{1}{(z-1)z}+\frac{1}{z(z+1)}+\frac{1}{(z+1)(z+2)}$$

$$=\frac{2z^2+4}{(z^2-4)(z^2-1)}+\frac2{z^2-1}$$

$$=\frac{4z^2-4}{(z^2-4)(z^2-1)}$$

$$=\frac4{z^2-4}$$

dando a $z=\pm 3$$x=0,x=-6$.

Answer 3

Sugerencia: su ecuación es equivalente a $$\frac{4x(6+x)}{5(1+x)(5+x)}=0$$

Answer 4

Con factores siguiendo una progresión aritmética, se establece la regla

$$\frac1{a(a+b)}+\frac1{(a+b)(a+2b)}=\frac{2a+2b}{a(a+b)(a+2b)}=\frac2{a(a+2b)}.$$

Aplicar tres veces, la suma se reduce a

$$\frac4{(x+1)(x+5)},$$ dando la fácil ecuación cuadrática

$$(x+1)(x+5)=\frac4{0.8}$$

o $$x(x+6)=0.$$