Dejemos que $M$ sea una variedad lisa y $X\in\mathfrak{X}(M)$ . El teorema del enderezamiento dice:
Si $X_p\neq 0$ hay un gráfico $(U,y_1,...,y_n)$ alrededor de $p$ para lo cual $X=\frac{\partial}{\partial y_1}$ .
El enlace anterior da una prueba utilizando un argumento de ecuación diferencial, pero he intentado una prueba alternativa:
Tome un gráfico $(U,\phi)$ alrededor de $p$ con $U$ lo suficientemente pequeño como para que $X|_U$ nunca es cero. En esa vecindad, podemos tomar un marco local suave $\{X_1,...,X_n\}$ con $X_1=X$ . Entonces: $$X_j=\sum_{i=1}^na_{ij}\frac{\partial}{\partial \phi_i}$$ para algunos $a_{ij}\in C^\infty(U)$ . Desde $X_1,...,X_n$ son linealmente independientes, la matriz $(a_{ij})_{i,j}$ es invertible en $U$ . En el dominio $U$ defina: $$\psi:=(a_{ij})_{i,j}^{-1}\circ\phi$$ Esta función pertenece al atlas maximal, porque para cada $(V,\xi)$ con $U\cap V\neq \emptyset$ tenemos: $$\psi\circ\xi^{-1}=(a_{ij})_{i,j}^{-1}\circ(\phi\circ\xi^{-1})\in C^{\infty}$$ $$\xi\circ\psi^{-1}=(\xi\circ\phi^{-1})\circ(a_{ij})_{i,j}\in C^{\infty}$$ Por lo tanto, $(U,\psi)$ es un gráfico que en particular satisface $X=\frac{\partial}{\partial \psi_1}$ . $_\blacksquare$
No veo ningún error en esta prueba, pero he descubierto algunos problemas como consecuencia de lo que hice. Usando la misma idea, si tenemos campos $X,Y$ que no son cero y son linealmente independientes en alguna vecindad, entonces podríamos extenderlas a un marco local $\{X_1=X,X_2=Y,...,X_n\}$ y construir un $\psi$ para lo cual $X=\frac{\partial}{\partial \psi_1},Y=\frac{\partial}{\partial \psi_2}$ pero he leído que esto no es posible, al menos no para la arbitrariedad $X,Y$ .
¿Qué me falta?
