Teoría de los números con 2 primos

Question

Encuentra todo $n \in \mathbb {Z^+}$ de tal manera que existen primos $p,q$ de tal manera que..:

$n=p(p^2-p-1)=q(2q+3)$

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Intenté trabajar en $ \mod 6$ y descubrió que $n \equiv 3,5 \mod 6$ . Si $n$ es congruente con $3 \mod 6$ entonces ambos $p,q$ son congruentes con $3 \mod 6$ lo cual es una contradicción. Así que $n$ es congruente con $5 \mod 6$ y $p,q$ debe ser $ \equiv 1,5 \mod 6$ . Ahora sólo tenemos que encontrar cuál $n$ no son posibles. No estoy seguro de cómo puedo hacer eso o si hay una solución que desenreda todo $n$ más fácilmente.

Answer 1

Seguí la idea de Keith Backman con una búsqueda sobre impar $k$ hasta $2000$ y no encontró ninguno excepto $p=13,q=31,k=5,n=2015$ . Para entonces, el sistema computarizado $p$ de la fórmula cuadrática era muy cercana a un medio entero. Podemos ver que al escribir $$p= \frac {k^2+2+ \sqrt {k^4+4k^2-24k+20}}4 \\ = \frac {k^2+2+ \sqrt {(k^2+2)^2-24k+16}}4 \\ = \frac {(k^2+2) \left (1+ \sqrt {1- \frac {24k-16}{(k^2+2)^2}} \right )}4$$ La raíz cuadrada es apenas menor que $1$ así que la fracción entera es apenas menor que un entero más la mitad. No hay otros.

Answer 2

Como señala @ΜάρκοςΚαραμέρης, las soluciones aquí son coordenadas enteras (primas) en una curva elíptica, y la teoría general (Thm. de Siegel) nos dice que para un cúbico irreducible, hay como mucho muchos puntos enteros. Obtener el número real de éstos puede ser a veces un cálculo tedioso, pero en el presente caso podemos obtener límites estrechos con métodos elementales (por ejemplo, completando el cuadrado).

Como se ha señalado en los comentarios de Keith Backman y otros, la búsqueda de coordenadas primarias $(p,q)$ (que asumimos positivo por simplicidad) de:

$$ p(p^2-p-1)=q(2q+3) $$

se reduce a $p^2-p-1 = qk$ y $2q+3=pk$ (así que $k \gt 0$ ) donde:

$$ 2p^2 - (k^2 +2)p + (3k-2) = 0 $$

Una solución integral $p$ de esta ecuación cuadrática requiere $k$ que hace del discriminante un cuadrado perfecto, es decir:

$$ m^2 = (k^2 + 2)^2 - 8(3k-2) $$

Para limitar estas posibles $k$ basta con notar que para que sea suficientemente grande $k$ el discriminante se encuentra estrictamente entre los dos cuadrados consecutivos:

$$ (k^2 + 1)^2 \lt (k^2 + 2)^2 - 8(3k-2) \lt (k^2 + 2)^2 $$

La desigualdad de la mano derecha se mantiene para $k \ge 1$ y para probar la desigualdad de la mano izquierda la reescribimos como:

$$ 8(3k-2) \lt (k^2 + 2)^2 - (k^2 + 1)^2 = 2k^2 + 3 $$

$$ 0 \lt 2k^2 - 24k + 19 = 2(k-6)^2 - 53 $$

Por la inspección, esto último es cierto para todos $k \ge 12$ así que nuestra búsqueda de soluciones sólo necesita cubrir $k = 1, \ldots , 11$ . Por supuesto, este suelo ya está fregado, produciendo la única solución primaria (positiva) ( $k=5, p=13, q=31$ ).