En el libro "la Geometría No Euclidiana y la Curvatura" por James W. Cannon, el autor utiliza el término "analítica de los modelos de espacio hiperbólico." (p. 19) Algunos ejemplos son el Klein modelo y la Hyperboloid modelo, que se mencionan en la Wikipedia también. Sin embargo, él no explica lo que es un modelo. Por qué se califica como modelos de espacio hiperbólico, y cómo pueden ser ambas válidas?
Respuestas
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Que se haga un modelo de espacio hiperbólico es una estructura matemática en la que definimos como "puntos" y "rayas", de modo que la modificación de los postulados de Euclides (con el postulado paralelo reemplazado por su hiperbólica equivalente) son verdaderas.
Los 3 modelos más comunes de 2D espacio hiperbólico son los hyperboloid modelo, el Klein modelo y el modelo de Poincaré. En cada modelo de "puntos" son todavía normales geométrico de los puntos, pero "líneas" se define como geodesics en un no-métrica Euclidiana.
En el hyperboloid modelo de las "líneas" de toda la mentira en una hoja de un hyperboloid. En el Klein modelo de "líneas" son Euclidiana líneas en un avión, pero la distancia es no-Euclidiana, por lo que los puntos en el infinito de la mentira en la circunferencia de un círculo. En el modelo de Poincaré "líneas" son arcos de círculos en un avión; de nuevo, los puntos en el infinito de la mentira en la circunferencia de un círculo.
Si incrusta cada uno de estos modelos 2D en 3D en el espacio Euclidiano, a continuación, pueden estar relacionadas por muy bellos e interesantes proyecciones.
miharo
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1
Un modelo de una teoría es una de hormigón, construido ejemplo donde la teoría es aplicable, ya que los axiomas son verificados.
Por ejemplo $\mathbb{Z}$, $\mathbb{C}$ y $S_6$ son todos los grupos, lo que significa que son los modelos de la teoría de grupos. Satisfacen el grupo de axiomas y se puede aplicar la teoría de grupo los resultados. También son muy diferentes el uno del otro.
tariqsheikh
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58
Hay otra noción de "modelo", que caracteriza el plano hiperbólico y se expresa en el lenguaje de la geometría diferencial, a saber:
El plano hiperbólico es el único simplemente conectado, completa de Riemann colector de dimensión 2 y curvatura constante $-1$.
El significado de la "singularidad" en esta declaración es la singularidad de hasta isometría. Más formalmente, si $\mathbb H_1$ $\mathbb H_2$ son dos simplemente se conecta, completa de Riemann colectores de dimensión 2 y curvatura constante $-1$ entonces existe una isometría $f : \mathbb H_1 \to \mathbb H_2$.
Esta noción de singularidad puede ser usado para demostrar que todos los modelos mencionados en la pregunta son isométricos para cada uno de los otros, la verificación de que el Klein modelo, el hyperboloid modelo, y el modelo de Poincaré son todo completo, simplemente se conecta, de Riemann 2-variedades de curvatura constante $-1$.
O.O.
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138
Yo diría que la palabra "modelo" aquí se utiliza para fines históricos. La historia es que la gente se ha estado preguntando si al quinto postulado de Euclides puede ser demostrado a partir de los otros postulados. Esto ha sido demostrado ser falsa mediante la construcción de un "modelo" (en el sentido de que el modelo de la teoría), es decir, una estructura que satisface los otros postulados, pero no el quinto postulado. Y así tenemos los modelos de la geometría no Euclidiana.
En comparación con la geometría esférica podría ser útil. Podemos ver la superficie de la Tierra como un objeto 3D, o podemos hacer un mapa plano de la Tierra usando muchos conocidos proyecciones, por ejemplo, estereográfica, gnomonic, Mercator. Si aplicamos la proyección estereográfica de la Minkowski hyperboloid, obtenemos el modelo de Poincaré del plano hiperbólico. Asimismo, gnomonic de proyección = Klein modelo, la proyección de Mercator = banda de modelo ortogonal = Gans modelo. Por lo tanto, la palabra "proyección" que podrían ser apropiadas para algunos de los modelos (tenemos que ser muy cuidadosos, aunque, como la de Minkowski hyperboloid vive en el espacio de Minkowski, no es el habitual $\mathbb{R}^3$) pero el "modelo" es aún más común. He escrito más sobre esto aquí.
