Área de una curva en forma de seta

Question

Inspirado en un debate sobre esta pregunta Descubrí la siguiente función híbrida:

Las curvas en rojo se definen como $$f(x)=\exp\left((\sin x)^{(\sin x)^{\sin x}}\right)$$ y las curvas en azul se definen como $$g(x)=(\sin x)^{\sin x}$$

El resultado parece la cabeza de una seta (con un poco de decoración :)

Pregunta: Considere sólo una "cabeza de hongo". ¿Cuál es el área?

Podemos reescribir el problema como $$\int_0^\pi\left[e^{(\sin x)^{(\sin x)^{\sin x}}}-(\sin x)^{\sin x}\right]\,dx$$ y podemos ver que es simétrico en $x=\pi/2$ ya que $\sin\left(\frac\pi2-x\right)=\sin\left(\frac\pi2+x\right)$ por lo que equivale a $$2\int_0^{\pi/2}\left[e^{(\sin x)^{(\sin x)^{\sin x}}}-(\sin x)^{\sin x}\right]\,dx\tag{1}$$

Wolfram Alpha calcula que esta integral definida es de alrededor de $3.88407$ (no es igual a, como se señala en los comentarios.

Entonces, ¿cómo debo abordar esta integral? No preveo una forma cerrada, por lo que las aproximaciones estarían bien.

Actualización: He aproximado las funciones en otras más simples, para dar un valor de $3.86029$ .

Answer 1

Aproximación de la curva

En el intervalo $[0,\frac\pi2]$ la función $a(x)=\exp\left(\sin x^{\sin x^{\sin x}}\right)$ puede aproximarse mediante la función $$\alpha(x)=\frac53\sin x+1,$$ y, del mismo modo, la función $b(x)=\sin x^{\sin x}$ puede aproximarse mediante la función $$\beta(x)=\frac{0.85x\ln\left(0.66x\right)}{e^x}+1.$$ Se muestran a continuación, junto con las funciones originales.

La función $\alpha$ es fácil de integrar. Obtenemos $$\mathcal I_1=\int_0^{\pi/2}\alpha(x)\,dx=\left[x-\frac53\cos x\right]_0^{\pi/2}=\frac\pi2-\frac53.$$

La función $\beta$ es más difícil. Usando WolframAlpha, obtenemos $$\mathcal I_2=\int_0^{\pi/2}\beta(x)\,dx\approx1.30732.$$ Para aproximar esta integral a mano, podríamos utilizar la serie de Taylor para $\ln$ y $\exp$ pero, por supuesto, esto sólo podría limitarse a un número de términos (prácticamente), ya que las funciones racionales largas también son extremadamente difíciles de integrar.

Por lo tanto, la integral definida que queremos es $$\int_0^\pi a(x)-b(x)\,dx\approx2(\mathcal I_1-\mathcal I_2)=\pi+\frac{10}3-2\times1.30732=3.86029$$ con un error de alrededor de $0.61\%$ .