Si $f$ derivable en $[a,b]$ hace $\int_a^t f'(x)dx=f(t)-f(a)$ ¿Es cierto?

Question

Dejemos que $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb R$ una función derivable. ¿Es cierto que para todo $t\in [a,b]$ tenemos que $$f(t)=f(a)+\int_a^t f'(x)dx \ \ ?$$

La cosa es que desde $f'$ no es supuestamente continua, no hay razón para que $f'$ sea integrable de Riemann. Así que mis preguntas son las siguientes:

• Q1) En el sentido de Riemann, ¿es correcta la fórmula (si no tenemos otra hipótesis sobre $f'$ ). Si no es así, ¿tiene un contraejemplo?

• Q2) Si asumimos $f'$ Riemann integrable, es la fórmula correcta (en el sentido de Riemann). Si no es así, ¿tienes un contraejemplo?

• Q3) En el sentido de Lebesgue, ¿es correcta la fórmula (si no tenemos otra hipótesis sobre $f'$ ). Si no es así, ¿tiene un contraejemplo?

• Q4) Si asumimos $f'$ Lebesgue integrable, es la fórmula correcta (en el sentido de Lebesgue). Si no es así, ¿tiene un contraejemplo?

Answer 1

P1: No, porque $f'$ no tiene por qué ser integrable de Riemann. Por ejemplo $f'$ no tiene por qué estar acotado.

P2: Sí. De hecho, esto es muy sencillo: la elegancia de la prueba me parece una buena razón para que la integral de Riemann se defina exactamente como lo hace. Digamos que $a=t_0<\dots<t_n=b$ . Aplique el Teorema del Valor Medio a cada subintervalo: $$f(b)-f(a)=\sum(f(t_{j+1})-f(t_j))=\sum f'(\xi_j)(t_{j+1}-t_j),$$ precisamente una suma de Riemann para $\int_a^b f'(t)\,dt$ .

P3: No, $f'$ no tiene por qué ser integrable en Lebesgue. Por ejemplo, si $a=-1$ , $b=1$ y $$f(t)=\begin{cases}t^2\sin(1/t^{100}),&(t\ne0), \\0,&(t=0).\end{cases}$$

P4: Estoy bastante seguro de que la respuesta es sí. Casi seguro que es un teorema de Rudin - mi copia de Análisis real y complejo no está. Editar: Gracias a @ChrisJanjigian por confirmar que sí, es el Teorema 7.21. O ver aquí para una demostración basada en el teorema de Vitali-Caratheodory.

Nota esto es asumiendo que $f$ es diferenciable es decir, que $f'$ existe en cada punto. Ciertamente, hay ejemplos en los que $f$ es diferenciable en casi todas partes, $f'\in L^1$ pero $f$ no es absolutamente continua; por ejemplo, la función de Cantor satisface $f'=0$ casi en todas partes.