Dadas dos en blanco gobernantes, a la medida de cualquier longitud

Question

Decir, se le da la regla de $A$ de la longitud de la $72.84 \text{ cm}$ y el gobernante $B$ de la longitud de la $86.63\text{ cm}$. Ninguno de ellos tiene alguna marca/gradación de cualquier tipo sobre ellos. Están en blanco, excepto por su longitud total escrito en ellos.

Utilizando sólo a y B, se puede medir una longitud de $31.23\text{ cm}$?

También, es posible generalizar este concepto?

Es decir:

Dado que cualquiera de los dos en blanco gobernantes, a la medida de cualquier longitud.

Answer 1

Sí. Es Posible

He aquí un hecho útil: Si $a$ $b$ son enteros con $\gcd(a,b) = d$, entonces no existen números enteros $x$ $y$ tal que $ax + by =d$. De hecho, uno puede calcular exactamente lo $x$ $y$ son por el algoritmo de Euclides extendido.

En este caso, tenemos $$ 3539 \times 8663 - 4209 \times 7284 = 1$$

O, $$ 3539 \times 86.63 - 4209 \times 72.84 = 0.01 $$

Así que, en teoría, se podría medir el $0.01$ cm marcando $3539 \times 86.63$ cm a lo largo de una línea y, a continuación, marcando $4209 \times 72.84$ cm a lo largo de la misma línea; la diferencia en las marcas se $0.01$ cm.

Por supuesto, ahora que puede medir el $0.01$ cm, se puede medir cualquier múltiplo de la misma.

Para su generalización, dadas dos en blanco gobernantes, usted puede medir cualquier longitud que es un múltiplo de la dpc de sus longitudes. (Asegúrese de elegir las unidades en donde las longitudes de los gobernantes son enteros. Aquí, hemos elegido 0.01 cm)

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Edit: Como señaló el pececillo de plata en los comentarios, el hecho interesante se menciono anteriormente es la identidad de Bézout

Answer 2

Todo esto se reduce a (usando 0.01 cm, ya que la unidad) como

Qué $\gcd(7284,8663)$ brecha 3123?

La respuesta es sí: el mcd resulta ser 1. La generalización es obvia: dos en blanco gobernantes de longitudes $a$ $b$ unidades ($a,b$ son números naturales) se puede medir cualquier longitud que es un múltiplo de a $\gcd(a,b)$ unidades.

Answer 3

Las otras respuestas son afirmativas, y considerar la posibilidad de medir los múltiplos de el MCD de los dos gobernantes, o $0.01\text{ cm}$ en el problema original.

Para realmente pequeños problemas, sería mejor tener un irracional relación entre los dos longitudes, por ejemplo, una regla de longitud $1$ y una regla de longitud $\pi$. Uno puede obtener múltiplos de $\pi$ arbitrariamente cerca de los números enteros y por lo tanto construir unidades básicas de medida arbitrariamente pequeño.

Al hacerlo, usted puede medir CUALQUIER valor no negativo longitud real a CUALQUIER positiva deseada grado de precisión. El contraste de un gobernante con la $0.01\text{ cm}$ regla mencionado que sólo se puede medir cualquier valor no negativo real en $0.01\text{ cm}$ de exactitud ($0.005$ realmente, pero hay una incertidumbre en la medida en que lado es en realidad más cerca, así que usted termina con a $0.01$ desde el lado más).

Answer 4

Se puede escribir como la ecuación de $7284y - 8663x = 3123$

o $y = \frac{8663x + 3123}{7284}$

A partir de esto podemos ver que $8663x\equiv 7284-3123 \mod 7284$

$8663x \equiv 4161 \mod 7284$

$8663 \equiv 1379 \mod 7284$

Por eso, $x \equiv \frac{4161}{1379} \mod 7284$

$x \equiv 4161\cdot \frac{1}{1379} \mod 7284$

$x = 4161\cdot 3539 = 14725779$........ donde $3539$ es el inverso multiplicativo de a $1379$

Por eso, $x = 14725779$ $y = 17513650$

Así que, si queremos medir $17513650$ longitudes de las $72.84$ palo y luego medir con $14725779$ longitudes de las $86.63$ palo, se consigue una distancia de $31.23$ a partir de nuestro punto de partida.