¿Por qué la norma de una matriz es mayor que su valor propio?

Question

Sé que hay diferentes definiciones de la Norma Matriz, pero quiero usar la definición de WolframMathWorld y la Wikipedia también ofrece una definición similar.

La definición es la siguiente:

Dado un cuadrado complejo o real $n\times n$ matriz $A$ una norma matricial $\|A\|$ es un número no negativo asociado a $A$ con las propiedades

1. $\|A\|>0$ cuando $A\neq0$ y $\|A\|=0$ si $A=0$ ,

2. $\|kA\|=|k|\|A\|$ para cualquier escalar $k$ ,

3. $\|A+B\|\leq\|A\|+\|B\|$ , para $n \times n$ matriz $B$

4. $\|AB\|\leq\|A\|\|B\|$ .

Entonces, como dice el sitio web, tenemos $\|A\|\geq|\lambda|$ Aquí $\lambda$ es un valor propio de $A$ . No sé cómo demostrarlo, utilizando sólo estas cuatro propiedades.

Answer 1

Supongamos que $v$ es un vector propio de $A$ correspondiente a $\lambda$ . Formar la "matriz propia" $B$ poniendo $v$ en todas las columnas. A continuación, $AB = \lambda B$ . Por lo tanto, por las propiedades $2$ y $4$ (y $1$ para asegurarse de que $\|B\| > 0$ ), $$|\lambda| \|B\| = \|\lambda B\| = \|AB\| \le \|A\| \|B\|.$$ Por lo tanto, $\|A\| \ge |\lambda|$ para todos los valores propios $\lambda$ .

Answer 2

Dejemos que $\|\cdot\|$ sea una norma matricial.

Se sabe que el radio espectral $r(A) = \lim_{n\to\infty} \|A^n\|^{\frac1n}$ tiene la propiedad $|\lambda| \le r(A)$ para todos $\lambda\in \sigma(A)$ .

En efecto, dejemos que $\lambda \in \mathbb{C}$ tal que $|\lambda| > r(A)$ .

Entonces $I - \frac1{\lambda} A$ es invertible. En concreto, comprueba que la inversa viene dada por $\sum_{n=0}^\infty\frac1{\lambda^n}A^n$ .

Esta serie converge absolutamente porque $\frac1{|\lambda|}$ es menor que el radio de convergencia de la serie de potencias $\sum_{n=1}^\infty \|A\|^nx^n$ que es $\frac1{\limsup_{n\to\infty} \|A^n\|^{\frac1n}} = \frac1{r(A)}$ .

Por lo tanto, $$\lambda I - A = \lambda\left(I - \frac1{\lambda} A\right)$$

también es invertible por lo que $\lambda \notin \sigma(A)$ .

Ahora usando la submultiplicatividad obtenemos $\|A^n\| \le \|A\|^n$ así que

$$|\lambda| \le r(A) = \lim_{n\to\infty} \|A^n\|^{\frac1n} \le \lim_{n\to\infty} \|A\|^{n\cdot\frac1n} = \|A\|$$