Definición e implicaciones de la integral de Riemann Stieltjes

Question

Estoy estudiando los Stieltjes de Riemann en el libro de Tom Apostol análisis matemático segunda edición y tengo una la siguiente pregunta.

Dado $[a,b]$ definimos una partición de este intervalo como un conjunto $P = \{a = x_0, ..., x_n = b\}$

Supongamos que $ f,g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ y $f$ es integrable de Riemman con respecto a $g$ en $[a,b]$ es decir, por cada $\varepsilon > 0$ existe $P_{\varepsilon}$ partición de $[a,b]$ tal que para cada $P\subseteq P_{\varepsilon}$ y cualquier elección de puntos $\{t_k\}$ (los puntos dentro de cada subintervalo de la partición), tenemos que:

$\left | S(P,f,g) - A \right | < \varepsilon$ para un verdadero $A$ que es lo que denotamos por $\int_{a}^{b} fdg(x)$ .

Ahora, mi pregunta es, 1) si dado el hecho de que $f$ es integrable con respecto a $g$ en $[a,b]$ podemos decir que $f$ es integrable con respecto a $g$ en $(a,b)$ o $(a,b]$ o $[a,b)$ ? 2) En caso afirmativo, ¿se desprende directamente de la definición? (por favor, sea riguroso y no intuitivo) 3) ¿Las integrales son siempre iguales?

¿Se deduce directamente de la definición que las integrales en esos intervalos son iguales? Lo que veo es que las sumas de Riemann no son iguales ya que

$S(P,f,g) = \sum_{k=0}^{n} f(t_k)(g(x_k)-g(x_{k-1})) $

para que cuando no se incluyan los puntos finales no tengamos el $g(a)/g(b)$ términos.

En términos de integración de Lebesgue se podría decir que si $g$ es no negativo y $f$ es medible entonces $f1_{[a,b]} = f1_{[a,b)}$ a.s con respecto a la medida inducida por g, por lo que las integrales correspondientes son iguales.

Aquí, en la integración de Riemann Stieltjes, ¿la definición implica directamente un mismo argumento o necesitamos alguna proposición relacionada con Lebesgue?

Gracias por su paciencia.

Answer 1

En primer lugar, como menciona Berci en los comentarios, las integrales de Riemann-Stieltjes están definidas en intervalos cerrados . A menudo, las integrales de Riemann se definen también en intervalos cerrados, pero se extienden a intervalos abiertos o semiabiertos con límites.

Voy a suponer que cuando escribes sobre $f$ al ser integrable con $g$ en $(a,b]$ y siendo lo mismo que $f$ wrt $g$ en $[a,b]$ quiere decir que $\displaystyle \lim_{\delta \to 0} \int_{a+ \delta}^b fdg$ existe y es igual a $\displaystyle \int_a^b fdg$ .

Pero como usted menciona, esto no tiene por qué ser cierto, incluso si $\displaystyle \int_a^b fdg$ existe. Por ejemplo, considere $g(x) = 1$ si $x = 0$ y $0$ en caso contrario, y que $f$ sea una función que sea $1$ en un barrio $0$ , digamos que $[-\alpha,\alpha]$ para algunos pequeños $\alpha$ de y $0$ en todos los demás lugares. Entonces $\displaystyle \int_0^1 fdg = 1$ . Pero para cualquier $\epsilon > 0$ , $\displaystyle \int_\epsilon^1 fdg = 0$ por la misma razón que has indicado: no capturamos el primer punto final. Y si $g$ es discontinuo allí, ese punto final realmente importa. Del mismo modo, si $g$ es terriblemente discontinua cerca de $0$ entonces la integral sobre $(a,b]$ tendrá muchos problemas.

Pero si tiene limitaciones en $g$ como decir que $g$ es continua (o más débil, de variación acotada), entonces el límite existirá. Pero aún así, el límite en $(a,b]$ no necesita ser igual a la integral en $[a,b]$ incluso con una variación limitada, debido al punto final que falta. (Observo que la variación acotada también suele definirse en intervalos cerrados, por lo que mi argumento es un poco confuso).