Estos argumentos topológicos implican la misma idea básica: a menudo es fácil demostrar cosas para un subconjunto de matrices que son densas en el espacio de todas las matrices. Cualquier hecho "continuo" (por ejemplo, la afirmación de que dos funciones continuas son iguales) puede demostrarse para todas las matrices demostrándolo para este subconjunto denso.
Por ejemplo, si $L$ es diagonalizable con valores propios $\lambda_1, \dots \lambda_n$ entonces está claro que $(L - \lambda_1) \dots (L - \lambda_n) = 0$ que es el teorema de Cayley-Hamilton para $L$ . Pero el teorema de Cayley-Hamilton es un hecho "continuo": para un $n \times n$ matriz afirma que $n^2$ funciones polinómicas del $n^2$ entradas de $L$ desaparecer. Y las matrices diagonalizables son densas (sobre $\mathbb{C}$ ). De ahí que obtengamos Cayley-Hamilton en general.
Del mismo modo, la afirmación de que $PQ$ y $QP$ tienen el mismo polinomio característico (equivalentemente, los mismos valores propios, con las mismas multiplicidades aritméticas; esto es un poco más fuerte que lo que has escrito) está claro si, digamos, $P$ es invertible. Pero esto es un hecho "continuo": para $n \times n$ matrices afirma que $n$ funciones polinómicas del $2n^2$ entradas de $P$ y $Q$ desaparecer. Y las matrices invertibles son densas. De ahí que obtengamos la afirmación en general. Véase también esta entrada del blog para otras pruebas y generalizaciones.
Pero creo que $\det (e^L) = e^{\text{tr}(L)}$ es un mal ejemplo; la reducción de la densidad no te permite realmente comprar nada aquí. Está claro que $\text{tr}(L)$ es la suma de los valores propios de $L$ y que $\det (e^L)$ es el producto de los exponenciales de los valores propios de $L$ si es o no $L$ es diagonalizable, porque podemos triangularización superior $L$ (por ejemplo, llevarla a la forma normal de Jordan) en lugar de diagonalizarla. Nótese que esto no es suficiente para demostrar Cayley-Hamilton.
