Otra suma de coeficiente binomial

Question

En mi trabajo me encontré con el siguiente coeficiente binomial suma:

$$ S=\sum_{a=0}^{n-1-l} (-1)^a \binom{n}{l+1+a} \binom{l+a}{l} $$

donde$n\geq 0$$0\leq l \leq n-1$.

He navegado por la web y encontrado (gracias a esta pregunta) la fórmula (5.24) en "Concreto de las Matemáticas", que se parece a esto:

$$ \sum_k \binom{l}{m+k} \binom{s+k}{n} (-1)^k = (-1)^{l+m} \binom{s-m}{n-l}$$

Me fui por delante y el pensamiento acerca de la suma del índice. Si $a<0$ $\binom{l+a}{l}=0$ e si $a>n-1-l$$\binom{n}{l+1+a}$. Por lo que la suma no debe ser un problema. Utilizando la fórmula de la $S$ me da

$$ S = (-1)^{n+l+1}\binom{l - (l+1)}{l-n}.$$

Desde $l<n$ esto significaría $S=0$. Pero numericals experimentos y dar la suma de Mathematica resultado en $S=1$. Lo que me estoy perdiendo aquí?

Editar: Qué debo tener en cuenta $a < -l$, debido a que, a continuación, $\binom{l+a}{l}\neq 0$ nuevo?

Answer 1

$a=-\ell-1$ Tendría un término

$$(-1)^{-\ell-1}\binom{n}0\binom{-1}\ell=(-1)^{\ell+1}\frac{(-1)^{\underline\ell}}{\ell!}=-1\;.$$

Este término está incluido en la suma de $(5.24)$ de Matemáticas concretas pero no en su suma, y explica la diferencia.

Answer 2

Supongamos que buscamos para evaluar $$S = \sum_{q=0}^{n-l-1} (-1)^q {n\choose l+1+q} {l+q\choose q}$$ donde $l\lt n.$

Introducir la integral $${n\elegir l+1+q} = {n\elegir n-l-1-p} = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^n}{z^{n-l-q}} \; dz.$$

Esta integral es cero cuando $q\ge n-l$, por lo que podemos dejar a $q$ va a la infinito.

Esto produce por la suma $$\frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^n}{z^{n-l}} \sum_{q\ge 0} {l+q\elegir l} (-1)^q z^q\; dz \\= \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^n}{z^{n-l}} \frac{1}{(1+z)^{l+1}} \; dz \\= \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^{n-l-1}}{z^{n-l}} \; dz.$$

Esto es $$[z^{n-l-1}] (1+z)^{n-l-1}$$ en el que se evalúa a uno por la inspección.