Puede $\varepsilon$ - $\delta$ ¿se utilizan las definiciones para encontrar un límite o sólo para verificar?

Question

Así que me preguntaba si hay alguna parte del $\varepsilon$ - $\delta$ definición del límite que ofrezca alguna idea sobre cómo encontrar el límite de una función, o si esto es algo que se supone que debes adivinar basándote en la propia función o en otras funciones elementales cuyos límites has encontrado.

Por ejemplo, si tengo la función simple

$$\lim_{x\rightarrow 0} \rvert x \lvert$$

¿Puedo utilizar la definición de delta épsilon para calcular el límite? ¿O tengo que hacer una conjetura razonable de que es 0 y luego usar la definición de épsilon delta para demostrarlo?

Gracias

Answer 1

En los límites de la computación, escribir algo como $\lim\limits_{x\to3}\dfrac{x-3}{x^2-9}$ se utiliza el álgebra para reducir el problema a $\lim\limits_{x\to3}\dfrac{1}{x+3}$ se utiliza la continuidad de la función recíproca y la función polinómica en el denominador para justificar la introducción de $3$ en ese momento. El punto en el que $\varepsilon$ - $\delta$ las pruebas entran en el proceso sería en demostrar que cosas como las funciones polinómicas y la función recíproca son continuas.

Answer 2

El $\epsilon$ - $\delta$ La definición no le dirá cómo encontrar un límite, porque depende de ya conociendo el límite . Es decir, digamos que tenemos una función $f(x)$ . Entonces, $\lim\limits_{x\to p} f(x) = P~$ si...

$$\forall\epsilon > 0. ~\exists \delta > 0 \ni \forall x \in\text{Dom}(f).~ |x - p| < \delta \implies |f(x) - P | < \epsilon$$ Para decirlo en términos más fáciles de entender: El $\epsilon$ - $\delta$ La definición de límite dice que $P$ es un límite de $f(x)$ si y sólo si $f(x)$ se acerca a $P$ como $x$ se acerca a $p$ (el $\epsilon$ y $\delta$ aquí son como medidas de distancia). Esta definición sólo nos da un criterio para saber si $P$ es un límite, pero primero tenemos que saber $P$ para poder utilizar la definición.

En teoría, se podría utilizar el $\epsilon$ - $\delta$ definición para inferir un límite, pero eso sería el equivalente a sólo mirar $f(x)$ (con algunos parámetros adicionales y explícitos que pueden dificultar las cosas).

Answer 3

Según mis conocimientos, el lenguaje sólo se utiliza para demostrar que el límite es, por ejemplo, A, sin embargo, no se utiliza para calcular cuál es el límite.