Localización de las raíces de un polinomio cúbico.

Question

Dado un % polinomio cúbico $f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx +d$con coeficientes reales arbitrarios y $a\neq 0$. ¿Hay una prueba fácil para determinar cuando todas las raíces reales de $f$ son negativas?

El criterio de Routh-Hurwitz da una condición para las raíces en la izquierda abierta medio plano de un arbitrario polinomio con coeficientes complejos que ayuda un poco, pero este criterio no me ayuda cuando las raíces complejas se encuentran en el plano de la mitad derecha.

Answer 1

Podemos suponer que $a = 1$, ya que la división por $a$ no cambia los ceros. Entonces sabemos que el $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$. Queremos comprobar si $f$ tiene un cero en $[0,+\infty)$.

Si $d = 0$,$f(0) = 0$. Puede haber circunstancias en las que debe contar como negativo. A continuación, se limita a la comprobación de un polinomio cuadrático, cuyos ceros sabemos encontrar.

Si $f(0) = d < 0$, $f$ tiene un cero en $(0,+\infty)$ por el teorema del valor intermedio.

Si $d > 0$, comprobamos los derivados,

$$f'(x) = 3x^2 + 2bx + c = 3\biggl(x+\frac{b}{3}\biggr)^2 - \frac{b^2-3c}{3}.$$

Si $f'$ no tiene ningún positiva, cero o doble cero, $f$ es estrictamente creciente en a $[0,+\infty)$, por lo que, a continuación, $f$ no tiene no negativo real cero. Si $b^2 < 3c$, $f'$ tiene dos no-real ceros, y si $b^2 = 3c$, $f'$ tiene un doble cero en $-\frac{b}{3}$. Si $b^2 > 3c$, $f'$ tiene dos distintas real ceros. El mayor de estos es

$$\zeta = \frac{\sqrt{b^2-3c}-b}{3}.$$

Tenemos $\zeta > 0$ si y sólo si $b \leqslant 0$ o $b > 0$$c < 0$. A continuación, $f$ no tiene ningún positivo cero si y sólo si $f(\zeta) > 0$.

Answer 2

Si estás interesado en sólo las raíces se puede normalizar y tomar $a=1$. Entonces una condición necesaria es que $b,c,d>0$. Como tiene 3 raíces negativas sus dos puntos de inflexión también debe ser negativa. Es $f'(x)= 3x^2-2bx+c$ tengan raíces reales negativas, que pueden traducirse fácilmente a un estado en el discriminante $b^2-3c\ge0$.