Factoring $x^8-x^4+1$ $GF(7)$

Question

¿Alguien podría sugerir alguna buena forma de hacerlo? (Lo único que puedo pensar es por en busca de las raíces (no hay ninguno), comprobando una factorización en producto de un 6 y un 2 polinomio (muchas incógnitas para los coeficientes), comprobación de una factorización de una 5 y 3 y finalmente uno de los dos 4 grados. (Y cada cheque probablemente lleva mucho tiempo, ya que contiene muchas variables)

¿Hay alguna forma más inteligente de hacerlo?

Answer 1

Primero sustitutos $z=x^4$ y llega a las $z^2-z+1=0$. Polinomios cuadráticos son fáciles de factor (a través de cualquier campo de la característica $\neq 2$), aquí tenemos a $(z-3)(z-5)$. Con un poco de teoría de Galois (ver más abajo), uno puede encontrar $x^4-3=(x^2+2x+2)(x^2+5x+2)$ $x^4-5=(x^2+x+4)(x^2+6x+4)$ y estos polinomios de grado $2$ son irreductibles.

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El grupo de Galois del polinomio es generado por el Frobenius $\alpha \mapsto \alpha^7$, y actúa sobre las raíces. Esta acción es transitiva si el polinomio es irreducible. Más precisamente, cada órbita da lugar a un factor irreducible. Deje $\alpha \in \overline{\mathbb{F}_7}$ ser una raíz de $x^4-3$. Uno comprueba directamente que $\alpha \notin \mathbb{F}_7$, por lo tanto $\alpha \neq \alpha^7$. Pero $\alpha^{7^2}=\alpha \cdot (\alpha^4)^{12}=\alpha \cdot 3^{12}=\alpha$. Por lo tanto, $(x-\alpha)(x-\alpha^7) \in \mathbb{F}_7[x]$ es un factor irreducible de $x^4-3$. El término constante es $\alpha^8=(\alpha^4)^2=3^2=2$. El lineal coeficiente de es $\alpha+\alpha^7$, cuyo cuadrado es $\alpha^2+2 \alpha^8 + \alpha^{14}=\alpha^2 + 2 (\alpha^4)^2+\alpha^2 (\alpha^4)^3=\alpha^2+2 \cdot 2 + \alpha^2 \cdot 6=4$, por lo tanto $\alpha+\alpha^7 = \pm 2$. Por lo tanto, nos encontramos con $x^4-3=(x^2+2x+2)(x^2+5x+2)$.

Por supuesto, esto también puede ser verificado por un cálculo directo, pero el uso de la teoría de Galois (que es bastante fácil para un finito campos) podemos derivar la irreductible factores. No hay búsqueda por fuerza bruta o el algoritmo es necesario.

Answer 2

Sigo para arriba en mi comentario aquí, porque he encontrado una estrategia.

Una comprobación fácil para un determinado tipo de dos polinomios de grado cuatro está buscando $a, b∈

Answer 3

Compruebe hacia fuera algoritmo de aportaciones.