Teorema de #% de %#% a medida que longitudes del intervalo equivalente a Lebesgue en [0,1]

Question

por lo que he estado trabajando en este problema y quiero asegurarme de que estoy entendiendo la conclusión completamente. Así que tengo el siguiente escenario:

No se parte de la pregunta, pero relevante. Considerar la medida del espacio de $([0,1],\mathcal{M},m),$ donde $\mathcal{M}$ es el conjunto de Lebesgue medibles conjuntos de contenidos en $[0,1],$ $m$ es la medida de Lebesgue.

Deje $f$ ser algo de la función s.t. $$\int_a^b f dm =b-a,$$ y definir $$\int_A 1d\mu=\mu(A):=\int_A f dm.$$ Así tenemos que para cualquier $[a,b]\subseteq[0,1]$ $$\mu([a,b])=b-a.$$

Quiero mostrar a $f=1$ [m].e., y creo que una buena manera de ir sobre esto sería mostrar los $m=\mu.$

Ahora bien, si consideramos el conjunto $L,$ que es donde la medida de Lebesgue y $\mu$ está de acuerdo en que tenemos que $I,$ el conjunto de los intervalos está contenida en la anterior, es decir, $I\subseteq L.$ Ahora me es claramente un $\pi$ sistema y $L$ $\lambda$ sistema, lo que significa que por Dynkin del Teorema $\sigma(I)=\mathcal{B}\subseteq L,$ donde $\mathcal{B}$ es el conjuntos de Borel en $[0,1].$

Ahora, esto me daría ese $\mu=m,$, pero sólo en los conjuntos de Borel, y por lo tanto no puedo decir que $m=\mu$ $\mathcal{M}.$ Es esto correcto o me estoy perdiendo algo?

También veo que $f$ es el Radon-Nikodym derivados, lo que significa que es único y sabemos $f=1$ obras (en intervalos). No creo que esto me da el resultado totalmente, aunque.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Usted puede apelar directamente al teorema de la diferenciación de Lebesgue. A.e. m $x\in [0,1]$,\begin{align} \lim{h\rightarrow 0^{+}}\dfrac{1}{2h}\int{x-h}^{x+h}f\mathrm{d}m=\lim_{h\rightarrow 0^{+}}1=1 \end{align}

Equipararse le dio otra forma de responder a su pregunta. El # de $\sigma$-álgebra de Lebesgue es la terminación de la %-álgebra de Borel $\sigma$, así que cada % sistema mensurable de Lebesgue $E$es una Unión de un Borel $A$ y (Lebesgue) set null $N$. Así $E\setminus A=N\setminus A$, que es un conjunto nulo. Dónde,

$$\mu(E)=\int{E}f\mathrm{d}m=\int{A}f\mathrm{d}m=\mu(A)=m(A)=m(E)$$