Prueba de que cada punto puede mentir en una tangente a una curva

Question

¿para que los polinomios de grado impar serán cada punto de la mentira del avión en al menos uno tangente a la curva p (x)? ¿Lo que si es p (x)?

Answer 1

Respuesta: Para todos los impares grado de los polinomios de grado $\ge 3$.

Si $p$ es de grado $1$, entonces la gráfica de $p$ es en sí misma la línea tangente a todos sus puntos. Por lo tanto para cualquier otro punto que no hay tangente que pasa a través.

Deje $p(x)$ ser un polinomio de grado impar $\ge 3$. Por el cambio a $-p(x)$ si es necesario, podemos asumir que el primer término es positivo. Vamos a utilizar sólo las siguientes propiedades de $p$, que se aplican a una gama mucho más amplia de funciones:

1. $p'(x)$ existe para todas las $x\in\mathbb R$
2. $\lim_{|x|\to\infty} \frac{p(x)}{x}=+\infty$

Deje $(a,b)$ ser un punto en el plano. Si $b=p(a)$, el punto está en la gráfica de $p$ y, por tanto, sobre la tangente en este punto. Si $p(a)\ne b$, considere la función $$\begin{align}f\colon \mathbb R\setminus\{a\}&\to\mathbb R\\x\ &\mapsto \frac{p(x)-b}{x-a}\end{align}$$ (that is, the slope of the line through $(x,p(x))$ and $(a,b)$. Suponga $x_0\in\mathbb R\setminus\{a\}$ es un punto crítico de $f$. Entonces $$ 0=f'(x_0)=\frac{p'(x_0)(x_0-a)-(p(x_0)-b)}{(x_0-a)^2}\implies p'(x_0)=\frac{p(x_0)-b}{x_0-a}=f(x_0),$$ es decir, la línea a través de $(x_0,p(x_0))$ $(a,b)$ tiene la misma pendiente que la recta tangente y, finalmente, es la tangente en el $(x_0,p(x_0))$. Vemos por lo tanto que es suficiente para mostrar que $f$ tiene un punto crítico en su dominio. Para esto tenga en cuenta que $f(x)\to+\infty$ $x\to\pm\infty$ por la propiedad 2 de arriba. Si $p(a)>b$ [resp. $p(a)<b$] tenemos $f(x)\to+\infty$ $x\to a^-$ [resp. $x\to a^+$]. De ahí el lema de abajo se aplica a $f|_{(-\infty,a)}$ [resp. $f|_{(a,\infty)}$] de modo que $f$ tiene algún lugar en su dominio de un mínimo local y (como $f$ es derivable por la propiedad 1) un punto crítico como se desee.

Lema. Deje $(u,v)\subseteq \mathbb R$ ser un intervalo abierto (posiblemente $u=-\infty$ y/o $v=+\infty$). Deje $f\colon (u,v)\to \mathbb R$ ser una función continua con $\lim_{x\to u}f(x)=\lim_{x\to u}f(x)=+\infty$. A continuación, $f$ tiene un mínimo global en $(u,v)$.

Prueba. Pick $w\in (u,v)$. Existe $u_1>u$ tal que $f(x)>f(w)+1$ todos los $x\in(u,u_1)$; $v_1<v$ tal que $f(x)>f(w)+1$ todos los $x\in(v_1,v)$. En el intervalo compacto $[u_1,v_1]$ la función continua $f|_{[u',v']}$ alcanza su mínimo, en $\xi$ decir. Como sin duda $e\in[u',v']$, $f(\xi)\le f(w)$ y a la conclusión de que $\xi$ es también mínimo global para todos $f$. $_\square$

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Si $\deg p$ es incluso, pueden existir puntos que están en ninguna tangente a $p$ a todos. Sólo considere el $p(x)=x^{2n}$. Rápidamente se compruebe que todas las tangentes a esta $p$ $y$- eje en o por debajo de la $x$-eje. Por lo tanto el punto de $(0,1)$ no es tangente. y el punto de $(0,1)$. Estos ejemplos no son especiales:

La proposición. Para todos los polinomios de incluso el grado existen puntos en el plano que no están en ningún tangente a la gráfica de $p$.

Prueba. El caso de grado $0$ es trivial. Podemos suponer wlog. que el plazo de $p$ es positivo. Entonces existe un intervalo de $[u,v]$ tal que $p'(x)\le 0$ $p''(x)\ge 0$ todos los $x<u$ $p'(x)\ge 0$ $p''(x)\ge 0$ todos los $x>v$. Pick $a\in(u,v)$. A continuación, la función de $$\tilde p(x)=\begin{cases}p(x)&\text{if $x\le u$ or $x\ge v$}\\ \frac{x-u}{v-u}(f(v)-f(u))\end{casos}$$ es convexa. Por lo tanto, cualquier tangente a un punto de $(x,p(x))$ $x\notin [u,v]$ se ejecuta en o por debajo de la línea de segmento introducido en $\tilde p$. Especialmente, $(a,b)$ se encuentra por encima de todas estas tangentes tan pronto como $b>\tilde p(a)$. Para las tangentes a los puntos de $(x,p(x))$ $x\in [u,v]$ tenga en cuenta que $p$ $p'$ están delimitadas en el intervalo compacto $[u,v]$, dicen $|p(x)|\le A$ , $|p'(x)|\le B$ para todos los $x\in [u,v]$. A continuación, en el intervalo de $[u,v]$, todas estas tangentes permanecer por debajo de $A+(v-u)B$. Llegamos a la conclusión de que $(a,b)$ no está en ninguna tangente a $p$ si nos vamos a $b>\max\{\tilde p(a),A+(v-u)B\}$. $_\square$

Observación. Como en el extraño caso de que no uso mucho del polinomio-nidad de $p$. Basta con que

• $p'(x)$ existe para todas las $x\in\mathbb R$ $p'$ es continua
• $p$ es convexa fuera de un intervalo acotado

Answer 2

Deje $P=(a,b)$ un punto y $y=f(x)$ una función derivable $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Obviamente si $b=f(a)$ tenemos una tangente de $P$. De lo contrario, una tangente a la gráfica de la forma de la función $P$ existe si no hay un punto de $X=(x,f(x))$ tal que. $$ \dfrac{f(x)-b}{x}=f'(x) $$ De modo que existe una tangente a $f(x)$ desde cualquier punto de $P$ si esta ecuación tiene al menos una solución real $\forall (a,b) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$.

Si $f(x)$ es un polinomio de grado $n>1$, esta ecuación es una ecuación polinómica de grado $n$ y, sin duda, una solución real sólo si $n$ es impar.