Encontrar números irracionales en un intervalo dado

Question

Si $~\xi~$ es el número irracional, a continuación, se sabe que el conjunto de $~\{ p \xi + q ~ | ~ p,q \in \mathbb{Z} \}~$ es denso en $~\mathbb{R}$. Por lo tanto, dado que algunos de reales $~a~$ $~b~$ uno puede encontrar los números enteros $~p~$ $~q~$ tal que $~ a \leq p \xi + q < b~$. Pero, ¿cómo?

Se precisa he a $~a,b,\xi > 0~$ y estoy buscando un algoritmo para encontrar un par de $~(p,q)~$ $~p~$ positivo y lo menos posible, $~q~$ negativo.

No espero nada mucho más eficiente que la búsqueda por fuerza bruta, pero al menos que los límites nos podemos poner en $~p~$ $~q~$ a acotar el espacio de búsqueda?

Answer 1

Deje $[x]$ denota el mayor entero que no excede $x.$ Deje $e \in R-Q.$

Para $k\in N,$ definir $d_k= e k-[e k]$ y definen $k'$ como sigue :

Deje $l_k\in N$ donde $l_k d_k<1<(1+l_k)d_k.$ Deje $k'=-l_k k$ si $1-l_k d_k<(1+l_k)d_k-1.$ de lo Contrario vamos a $k'=(1+l_k)k.$ $$\text {Observe that }\quad 0< d_{k'}<d_k/2.$$

Deje $k_1=1$ y deje $k_{n+1}=k_n'.$ Ahora elija $a^*\in (a,b))-Z.$ Deje $M$ ser el menos (o ninguna) $n$ tal que $d_{k_n}<\min (b-a^*,a^*-[a^*]).$ Por razones de brevedad vamos a $C=k_M$. $$\text {We have }\quad 0< C e-[C e]<b-a^*\quad \text {and}\quad 0<C e-[C e]<a^*-[a^*].$$

Deje $D\in N$ donde $$(D-1)(C e-[C e])\leq a^*-[a^*]<D(C e-[C e]).$$ $$\text {We have }\quad a<a^*< [a^*]-D [C e] +D C e.$$ And we have $$[a^*]-D[C e]+D C e=[a^*]+(D-1)(C e-[C e])+(C e-[C e])\leq$$ $$\leq [a^*]+(a^*-[a^*])+(C e-[C e])=a^*+(C e-[C e])<a^*+(b-a^*)=b.$$ So let $p=D C$ and $q=[a^*]-D[C, e].$

El uso de $a^*$ fue eliminar la necesidad de tratar los casos de $a\in Z$ $a\not \in Z$ por separado.