Transformada de Fourier a $L^2$

Question

Deje $f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$, y deje $f_k$ funciones en el conjunto de Schwartz clase tal que $\|f-f_k\|_1+\|f-f_k\|_2\rightarrow 0$$k\rightarrow\infty$. Definir $$g_k(t)=\int_\mathbb{R}f_k(x)e^{-itx}dx \text{ and } g(t)=\int_\mathbb{R}f(x)e^{-itx}dx$$ It can be shown that $\lim_{k\rightarrow\infty}g_k(t)=g(t)$ for all $t$.

Deje $T_1:L^2(\mathbb{R})\rightarrow L^2(\mathbb{R})$ se define como el único de asignación continua que se extiende la asignación de $T:S\rightarrow L^2(\mathbb{R})$ donde $S$ es el de Schwartz de la clase, y la transformada de Fourier de una función en el Schwartz clase se define utilizando el $L^1$ definición (como $g$ $g_k$ anterior).

Cómo puedo probar que $$\lim_{k\rightarrow\infty}\|g_k-T_1f\|_2=0$$ and also that $$g(t)=(T_1f)(t)$$ pointwise?

EDIT: La primera es una consecuencia del teorema de Plancherel, como Daniel Fischer se menciona en el comentario. ¿Y el segundo?

Answer 1

La transformada de Fourier como una asignación de $T\colon S \to S$ donde $S$ está dotado de la $L^2$-norma, es una isometría (Placherel del teorema). Así, desde la $S$ es denso en $L^2(\mathbb{R})$, por lo que es su (único continua) extensión de $T_1 \colon L^2(\mathbb{R}) \to L^2(\mathbb{R})$. Entonces

$$\lVert g_k - T_1 f\rVert_2 = \lVert T_1 f_k - T_1 f\rVert_2 = \lVert f_k - f\rVert_2 \to 0.$$

El $L^1$ convergencia $f_k \to f$ implica la convergencia uniforme $g_k \to g$, y desde $L^p$ convergencia de una secuencia implica la existencia de un larga que converge pointwise en casi todas partes, tenemos

$$g_k \to T_1 f$$

en casi todas partes, por lo tanto

$$g = T_1 f$$

en casi todas partes. Desde $T_1 f$ sólo está definida como un elemento de $L^2(\mathbb{R})$, sólo se define el modulo de funciones que se $0$ en casi todas partes, así que no podemos afirmar rotundamente $g(t) = T_1 f(t)$ todos los $t$.

Sin embargo, $g$ es un representante de $T_1 f$, y por lo tanto podemos decir que la mayoría de los regulares de la representante de la clase de equivalencia $T_1 f$ es la función continua $g$, en ese sentido, tenemos $g(t) = T_1 f(t)$ pointwise.