Botella de Klein y tira de Möbius junto con un homeomorfismo

Question

Considere la botella de Klein (esto se puede hacer haciendo un espacio de cociente). Quiero dar una prueba de la siguiente afirmación:

La Botella de Klein es homeomórfica a la unión de dos copias de una banda de Möbius unidas por un homeomorfismo a lo largo de sus límites.

Sé cómo es esa banda de Möbius y cómo podemos obtenerla también mediante un mapa cociente. También sé cómo se ve la botella de Klein, pero no entiendo que la afirmación dada sea correcta. ¿Cómo se construye tal homeomorfismo explícitamente?

Answer 1

Vamos a pegar directamente dos tiras de Möbius en una botella de Klein.

1. Toma una tira de Möbius y haz que su parte inferior sea más ancha:

2. Haz la parte trasera de la banda como la mitad de una botella, también la parte delantera de la banda como un tubo.

3. Coge otra tira de Möbius y repite los pasos 1 y 2 para la nueva. A continuación, pega la nueva tira con la antigua a lo largo de sus límites. Ahora tenemos una botella de Klein.

Por lo tanto, una botella de Klein es homeomorfa a las tiras de Möbius pegadas.

Answer 2

Presentar una botella de Klein como un cuadrado con aristas verticales identificadas de manera que se invierta la orientación y aristas horizontales identificadas de manera que se mantenga la orientación. Ahora haz dos cortes horizontales a un tercio de la altura y a dos tercios de la altura.

El tercio central es una banda de Möbius. Toma los tercios superior e inferior y pégalos por la identificación horizontal original. Esta es la otra tira de Möbius.