Cambio de base Cómo inducir functor$f_*$

Question

Estoy tratando de entender el tema sobre el cambio de base. https://ncatlab.org/nlab/show/base+cambio https://ncatlab.org/nlab/show/essential+geométricas+morfismos

Dado un morfismos $f:X\rightarrow Y$ en topos $C$. Es claro cómo definir functors $f^*:C/Y\rightarrow C/X$ (pullback a lo largo de f) y $f_!:C/X \rightarrow C/Y$ (precomposición con f). Pero no entiendo cómo definir $f_*:C/X \rightarrow C/Y$ que está a la derecha adjunto a $f^*$.

Cómo topos induce $f_*$?

p.s. También agradezco a aclarar la conexión entre el $f_!$ (sinónimo: $\Sigma_f$) y dependiente de la suma de $\Sigma(x:X).P(x)$ de ciencias de la computación. (debe estar en algún lugar en las Poleas en la geometría y la lógica: una primera introducción a la teoría de topos Saunders MacLane, Ieke Moerdijk. Voy a buscar en ella cuando está disponible para mí.)

Answer 1

Desde $C/X$ es equivalente a la división de la categoría de $C/Y$ dada por el objeto de $f:X \to Y$, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $Y=1$.

El mecanismo general de interpretación de los tipos de dependientes en categorías para ver una flecha $p:E \to X$ "$X$- indexado de la familia de los objetos"; a cada generalizada elemento $x : U \to X$, el tipo dependiente $E(x)$ es el pullback

$$ \begin{matrix} E(x) &\to& E \\ \downarrow & & \ \ \downarrow {\Tiny p} \\ U &\xrightarrow{x}& X \end{de la matriz} $$

Tenga en cuenta que, si quería, en un topos puede transponer esta a $X \xrightarrow{\{ \cdot \}} P(X) \xrightarrow{p^{-1}} P(E)$, más literalmente, conseguir un mapa de $X$ a los subconjuntos de a $E$.

Desde $E$ es el total con todo lo necesario en la familia, dependiente de la suma simplemente se olvida de la indexación, por lo $f_!(p) = E$.

El derecho adjoint $f_*$ es dependiente del producto; en el lenguaje interno, es el conjunto de todas las secciones de $p$ (es decir, las funciones de con $s(x) \in E(x)$, pero $a \in E(x)$$p(a) = x$): $$ f_*(p) = \{ s : X \to E \mid p \circ s = 1_X \} $$ que se puede expresar como un pullback diagrama $$ \begin{matrix} f_*(p) &\to& E^X \\ \downarrow & & \quad \downarrow {\Tiny p \circ -} \\ 1 &\xrightarrow{`1_X{}'}& X^X \end{de la matriz} $$