Antes de preguntar nada, quisiera en primer lugar expresar mis disculpas por esta pregunta. $$$$When starting with Calculus, my Maths teacher had never felt the need to explain the conceptual understanding behind Limits, or when we take them and why we take them. All that we needed to know (according to him) was:$$$$ "si una función $f(x)$ no está definido en $x=a$ $f(x)$ parece acercarse a un cierto valor de L as $x$ enfoques $a$, $L$ es el Límite de $f(x)$ $$$$ Immediately after taking this down, we had been asked to evaluate $\dfrac{1}{x}$ at $x=0$, and the answer we got (contrary to the standard 'Not Defined' answer we had learnt till now) was $\infty$. Without pausing to explain, he had then given us another problem: evaluate $\dfrac{\sin(x)}{x}$ at $x=0$. $$$$ Podría alguien por favor explique los Límites de lo que realmente son? ¿Por qué necesitamos tener Límites? Wen sería de nosotros Límites de uso? ¿Cómo podemos evaluar realmente una función en un punto donde no existe (por ejemplo: ¿cómo se $\dfrac{1}{0}=\infty$?)? $$$$ Me pareciera ser verdaderamente agradecido si alguien pudiera por favor, ayudar a despejar estas dudas que tengo. Muchas gracias de antemano.
Respuestas
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Los límites son acerca de cómo las funciones se comportan de cerca, pero NO en el punto elegido. Cuando usted habla acerca de $\lim_{x\to 0} f(x)$ la información que se obtiene es acerca de lo $f(x)$ lo hace para pequeños valores distintos de cero de a $x$. El límite no se preocupan de lo $f(0)$ o, incluso, de si $f(0)$ tiene un valor definido.
Definitivamente es equivocado pensar de $\lim_{x\to 0}\frac1x=\infty$ como una afirmación que $\frac10=\infty$. Por el contrario $\lim_{x\to 0} f(x)$ tiene nada que ver con lo $f$ lo hace en $0$ -- sólo lo que hace cerca de $0$.
Por ejemplo, considere el $g(x)=\begin{cases} 2 & \text{when }x=0 \\ 1+x & \text{otherwise}. \end{cases}$
(Bosquejo de una gráfica de esto!). Entonces tenemos que $\lim_{x\to 0} g(x) = 1$, no importa que $g(0)$ $2$ en lugar de $1$.
En el particular caso de que la función es continua, el límite de $\lim_{x\to a} f(x)$ será el mismo que $f(a)$, pero que es un caso especial que no se puede confiar como una explicación de lo que un límite es -- por el contrario el punto de que esta identidad no es siempre cierto, que es por lo que puede ser utilizado como una definición técnica de "continuo".
Pero un límite NO DEBE ser pensada sólo como una manera indirecta de evaluar la función.
Cómo acerca de los límites de ser infinito? Eso es debido a que una función puede comportarse en varias diferentes maneras de cerca-pero-no-a $0$. Algunos de ellos son bastante comunes que les damos nombres. Acercarse a un número en particular es uno llamado comportamiento; se dice entonces que este número es el límite.
Pero si no hay ningún número de la función cerca -- tal que, en el $\frac1x$ caso: la función todavía puede comportarse de una manera que es útil para reconocer a tener una forma de hablar. Por ejemplo, $\frac1x$ tiene la propiedad de que cuando se $x$ enfoques $0$, el valor de $\frac1x$ se mueve lejos de cada número. Esta propiedad es lo que nosotros usamos la notación como $\lim_{x\to 0}f(x)=\infty$. Esto no quiere decir que $\infty$ es un número que $f(x)$ se destina a; $\infty$ no es un número! Es solo sugerente notación que es el elegido para parecerse a la de $\lim_{x\to 0} g(x)=1$ sea más fácil de recordar, aunque su definición técnica es diferente.
Ten en cuenta que $\lim_{x\to 0} f(x)=\infty$ lo hace no solamente quiere decir que el límite no es un número. Hay funciones de donde $\lim_{x\to 0}$ no es ni un número ni $\infty$. Por ejemplo, considere la posibilidad de:
$$ h(x) = \frac{\sin(1/x)}x \quad \text{ defined on } \mathbb R\setminus\{0\} $$
Tiene la curiosa propiedad de que para cada número real podemos encontrar un pequeño distinto de cero $x$ - que puede ser tan pequeño como queramos! -- tal que $h(x)$ es que el número. Esto significa que $h$ no tiene ningún número como su límite de $x\to 0$ -- el sector informal de la definición que hemos visto no puede hacer esto en claro, en cuyo caso usted debe molestar a tu profesor para explicar por qué no -- y no ha $\infty$ como límite.
Diríamos que $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(1/x)}x$ no está definido, lo que significa, ni más ni menos, que no hemos elegido una palabra o notación para este tipo de comportamiento todavía.
Si queremos, podemos perfectamente bien elegir una notación para hablar de $h$-como en el comportamiento-por ejemplo, podríamos decidir a escribir $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(1/x)}x ={\updownarrow}$$ Por supuesto, tendríamos que dar una definición adecuada de lo que exactamente queremos decir por que, pero una vez hecho esto $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(1/x)}x$ no sería indefinido.
Tu pregunta toca a uno de los principios básicos de cálculo/análisis matemático. En primer lugar voy a intentar romper el significado de un límite (de una secuencia) y encontrar un "mundo real" de la aplicación.
Supongamos que estás trabajando en un laboratorio de biología con algunos de cultivo de bacterias y se le de seguimiento el número de bacterias que viven en cualquier momento dado,$n$. Para facilitar la observación de los efectos supongamos que usted es la comprobación de que cada hora y contar el número de bacterias que viven, por lo que tenemos $n=1,2,\dots$. Además asumimos que nuestra hada madrina que nos ha dado con una fórmula para el número de bacterias que viven en cualquier momento dado,$n$. Así que si $a_n$ es el número de bacterias después de $n$ horas, ella nos dijo que $$a_n=\frac{8n^2+n-1}{2n^2-n+5}.$$ We ignore that this would give us some fraction of bacteria and continue working with that. Now we could ask ourselves: will the number of living bacteria increase over time? And if so, will the number grow beyond any limits? While the first question is also important, the second question aims for a (very naive) understanding of the limit of a sequence. Of course this scenario is laughable, but it holds some scientific truth. When you are monitoring something (be it biology, physics, chemistry), you are often not interested at the number of living bacteria at a certain time $n$, but you ask for the long-term development. In our scenario, this long-term development of the number of living bacteria would be the limit of the sequence: $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{8n^2+n-1}{2n^2-n+5}=4.$$ Una famosa paradoja de los tiempos antiguos, cuando el límite de una secuencia no era conocido, sin embargo, también se señala la importancia del concepto de límite.
A partir de la comprensión de que el límite de una secuencia, ahora uno puede progresar a estudio (valor real) de las funciones de $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$. A pesar de que uno puede definir la continuidad de una función sin el uso de límites, en mi opinión el enfoque utilizando la definición en términos de límites de secuencias se siente más natural de trabajar con. Lo mismo va para el límite de una función.
Ahora para el resto de tus preguntas:
En primer lugar me gustaría señalar, que su definición de un límite es al menos cuestionable. Para la definición del límite de $\lim\limits_{x\to a} f(x)$ no hay necesidad de $f$ no se define en $x=a$. La expresión "parece enfoque" está muy lejos de dar un correcto, matemático de vista sobre este tema (por ejemplo, uno podría decir que la función de $f:\mathbb R^*\rightarrow \mathbb R,~x\mapsto \frac 1x$ parece acercarse a $L=-42$$x\rightarrow \infty$, ya que la distancia entre el $\frac 1x$ $-42$ se hace más pequeño y más pequeño, pero no se puede decir que este es el límite), pero los propósitos de visualización, se puede trabajar con eso
Segundo, me gustaría decir, que (si sucedió como usted escribió) que su maestro está mal. El límite de $\frac 1x$ $x\rightarrow 0$ no $\infty$ ni $-\infty$ o $0$ o de cualquier otra cosa, este límite no existe. También utilizar esto como un reclamo para definir $\frac 10=\infty$ no es correcto.
Ahora lo que el límite de $\lim\limits_{x\to a} f(x)$, es proporcionar información de lo que su función de $f$ hace o cómo se comporta, al "acercarse" a $x=a$. De nuevo, esto no tiene nada que ver lo $f(a)$ es realmente o si está definido aún, todos los límites que le dice lo que está sucediendo "cerca de $x=a$".
Vamos a usar esto para su otra función, $f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$. Esta función no es, obviamente, definido por $x=0$, pero el límite de esta función todavía existe en una "forma natural". Uno puede mostrar que si te acercas más y más a $0$, el uso de símbolos $x\rightarrow 0$, $\frac{\sin(x)}{x}$ se acerca más y más a $1$. Así, en un barrio de $x=0$ (lo que significa poco a la izquierda o a little bit a la derecha de $0$, pero muy cerca de ella), su función será dar valores muy cercanos a $1$, por lo que el enfoque de "el límite de $L=1$".
Una mirada más de cerca a $\lim\limits_{x\to 0} \frac 1x$: es cierto, que si nos fijamos en los números positivos cerca de $x=0$, su función será dar números muy grandes por ejemplo, para $x=\frac{1}{10}$ obtendrá $f(x)=10$ $x=\frac{1}{100}$ obtendrá $f(x)=100$ etc., así que llegar a "más cerca"$0$, su número seguirá en aumento. Uno podría pensar que la $\lim\limits_{x\to 0} \frac 1x=\infty$ lo que significa que va a crecer más allá de cualquier límite y dejando a todos los demás detrás. Pero esto solo es cierto si el uso de los números positivos. Si usted toma $x=-\frac{1}{10}$ obtendrá $f(x)=-10$, por lo que su número disminuirá si usted recibe "más cerca" $0$ a partir de la dirección negativa. Así que ¿por qué no decir $\lim\limits_{x\to 0} \frac 1x = -\infty$? Obviamente, esto es una contradicción, por lo tanto se dice que este límite no existe.
Todavía es posible definir $L=\infty$ como el límite de una función, pero en general uno quiere tener el límite de no dependiendo del lado de la cual usted está acercando $a$.
Aquí, viajero, atornillado a la pared de castillo: la encantada Ballesta de san Agustín. Déjame mostrarte cómo funciona.
Observe que la ballesta es siempre objetivo en el horizonte. Girar esta rueda de aquí se convierte el arco de ida y vuelta-lo intente. Sí, la relación entre la posición de la rueda y la dirección de la proa es complicado. Ese es el precio de la magia, supongo. En el horizonte está marcado en grados, a partir de $-90$$90$, y la rueda que tiene los números de rayado demasiado en ella, de$0$$1$. No sé a quién se le ocurrió eso, pero ahora estamos atascados con ella. Un asistente me dijo una vez que debo pensar de las posiciones de la rueda como el intervalo de $X = (0, 1)$ y los puntos en el horizonte como el intervalo de $Y = (-90, 90)$, por lo que la relación entre la posición de la rueda y la dirección de la proa es una función de $f$$X$$Y$. Nunca he entendido que, aunque tal vez lo haga.
Ahora, aquí está la parte difícil. Si pones la rueda en exactamente $\frac{1}{3}$, se puede disparar una flecha a $0$ grados. Yo lo he visto-mi amigo Robin puede hacerlo, bastante seguro de que ella tiene algunos elfos de sangre en ella. Pero la gente normal no puede poner la rueda en exactamente en cualquier lugar, nuestro tiemblan las manos demasiado. Mira, voy a intentarlo. La rueda en $\frac{1}{3}$, o al menos se parece a $\frac{1}{3}$ a mí, pero-zing-la flecha va en torno a $40$ grados. Eso suena como una mala noticia. El $\frac{1}{3}$ posición pone una flecha en $0$ grados-$f(\frac{1}{3}) = 0$, como el asistente iba a decir-pero si la rueda incluso la más mínima poco apagado, la flecha va a otra parte.
Pero hay buenas noticias! Resulta que si se establece la rueda suficientemente cerca de a $\frac{1}{3}$, la flecha siempre va en torno a $40$ grados-a menos que se coloque la rueda en exactamente $\frac{1}{3}$, por supuesto, pero nadie la mala suerte de hacerlo por accidente. Mejor aún: cuanto más cerca de la rueda es $\frac{1}{3}$, el más cerca de la flecha va a $40$ grados. Así que, con práctica, usted puede configurar la rueda de cerca lo suficientemente $\frac{1}{3}$ para golpear a cualquier criatura que deambula a través de la $40$-grado de la marca, no importa cuán flaco es. El asistente se pusieron muy emocionado acerca de que cuando me lo mostró, comenzó golpeando sus rodillas y riendo, "Oh, por supuesto que el timador habría! Sí, $$\lim_{x \to \frac{1}{3}} f(x) = 40,$$ esto es genial!" No veo por qué es gracioso, pero estoy agradecido por ello: es lo que hace que la ballesta utilizable, para el común de la gente como yo.
Ahora, hay algunos lugares donde la noticia no es tan buena. A medida que gire la rueda hacia la $\frac{3}{4}$, por ejemplo, el arco agita de ida y vuelta entre el $-15$ $-10$ grados, y sólo pura suerte o magia puede apuntar cualquiera mejor que. No hay ningún punto puede el hogar en los mediante la obtención de la rueda lo suficientemente cerca como para $\frac{3}{4}$. El asistente de ojos brillaron cuando vio que. "Ah, parece $f$ no tiene un límite en el $\frac{3}{4}$. Un lugar donde la función no tiene límite-que es donde está la verdadera magia puede suceder." Nunca he entendido eso, pero me acordé de años más tarde, durante una terrible batalla. Toda una columna de duendes fue marchando hasta que pase entre el $-15$ $-10$ grados, y el pobre Robin con su brazo todo destrozado, apenas podía girar la rueda, pero ella dijo: "Acaba de poner tan cerca como usted puede a $\frac{3}{4}$, y yo haré el resto". Así lo hicimos, y ella cortó todos ellos sin apenas tocar el volante. Sí, a veces pienso que este arco no estaba hecho para torpes manos como el nuestro.
Bueno, no vamos a insistir en que. Voy a poner la rueda en algún lugar más sensible. Cómo acerca de $\frac{1}{2}$, que es una divertida! Aquí, pruebe el ajuste de la rueda en casi $\frac{1}{2}$, pero sólo un pelo a la izquierda. Usted puede ver el arco en casi $-90$ grados. Ahora, toca la rueda sobre lo que todavía no está en casi $\frac{1}{2}$, pero sólo un pelo a la derecha. Ahora el arco en casi $90$ grados! A medida que la rueda se cierra en $\frac{1}{2}$, el arco se cierra en $-90$ grados si viene de la izquierda, y $90$ grados si viene de la derecha. Con la práctica, usted puede golpear a cualquier criatura que los pasos a través de la $-90$-grado de la marca o de la $90$-grado de la marca por la configuración de la rueda, lo suficientemente cerca como para $\frac{1}{2}$; usted sólo tiene que tener cuidado acerca de qué lado de la $\frac{1}{2}$. El asistente murmuró algo complicado sobre que, como, "Técnicamente $f$ no tiene límite en a$\frac{1}{2}$, pero tiene la izquierda y a la derecha de los límites de $$ \lim_{x \to \frac{1}{2}{}^-} f(x) = -90 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x \to \frac{1}{2}{}^+} f(x) = 90, $$ así que casi no es ningún problema para usted."
Que va a ser oscuro pronto, es mejor que la cabeza dentro. Si usted va a la biblioteca, usted encontrará algunas de las cosas que el asistente a la izquierda-imágenes y trozos de la escritura que él dijo que nuestra ballesta le recordó, aunque es difícil ver cómo.
$\frac{1}{3}$ x | $\frac{3}{4}$ x x | $\frac{1}{2}$ x x x x
No, ha sido encantador, pero me voy a quedar aquí. Alguien tiene que girar la rueda.
