problema de exponente negativo

Question

$$\sqrt{\frac{1}{3^0 + 3^{-1} + 3^{-2} + 3^{-3} + 3^{-4}}}$$

Hace esta igual =

$$\begin{align} & \sqrt{3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4} \ =&\sqrt{1 + 3 + 9 + 27 + 81} \ =&\sqrt{121} \ =&11. \end{align} $$

La respuesta aparentemente es $\frac{9}{11}$ y no sé qué regla de exponentes negativos me puse mal.

Incorrectamente, la estoy utilizando, la regla es esta:

$$\frac{1}{3^{-2}} = 3^2 = 9.$$

Answer 1

$$\sqrt{\frac1{3^0 + 3^{-1} + 3^{-2} + 3^{-3} + 3^{-4}}}=\sqrt{\frac{3^4}{3^4(3^0 + 3^{-1} + 3^{-2} + 3^{-3} + 3^{-4})}}$$

$$=\sqrt{\frac{3^4}{3^4+3^3+3^2+3^1+3^0}}=\sqrt{\frac{81}{121}}=\frac9{11}$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $3^{-n} = 1/3^{n}$ todos los $n \geq 0$ donde $3^{0} = 1$, por convención. En primer lugar, simplificar el denominador utilizando el último hecho: $$3^{0} + 3^{-1} + 3^{-2} + 3^{-3} + 3^{-4} = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 \\ = 81/81 + 27/81 + 9/81 + 3/81 + 1/81 \\ = 121/81$$ Por lo tanto, hemos simplificado la expresión original a: $$\sqrt{1/(121/81)} = \sqrt{81/121} = 9/11$$ donde la última igualdad viene de saber cuadrados perfectos para los números naturales a menos de $20$ (recomendado para cualquier estudiante de matemáticas). Observar desde la anterior que tenía el correcto "hecho" a lo largo de, usted simplemente necesita reconocer que cada término del denominador no puede ser invertida por separado. Explícitamente, $$1/(3^{0} + 3^{-1} + 3^{-2} + 3^{-3} + 3^{-4}) \neq 1/3^{0} + 1/3^{-1} + 1/3^{-2} + 1/3^{-3} + 1/3^{-4}$$

También podría ser útil para multiplicar el numerador y el denominador por $\sqrt{3^{4}}$ como fue mencionado en algunas de las otras respuestas, pero no es demasiado difícil pensar que sin hacer esto en mi opinión. Déjeme saber si usted tiene alguna pregunta adicional.

Answer 3

Cuando tengas una duda con esas expresiones (utilizo aquí usted problema específico), dentro de la raíz cuadrada, se multiplican numerador y denominador por la inversa de la potencia más negativa (aquí: 3 ^ 4) y realizar las multiplicaciones por (3 ^ 4) para cada término de la denominador. Luego, realizar las adiciones y simplificaciones.

Answer 4

no echa de menos $1$ de la división, es igual

$\sqrt{1/(1+1/3+1/9+1/27+1/81)}$

por favor encontrar ahora el mínimo común múltiplo y simplificar la ecuación

para simplificar la situación, mínimo común múltiplo es $243$, consiguió por $(81*27)/9$,

hay $9$ es el máximo común divisor, ahora debemos resolverlo tendríamos

$(243+81+27+9+3)/243=363/243$

así tenemos $\sqrt {(1/(363/243)}$ o $\sqrt{243/363}$, tenemos % común $3$, que nos tienen $\sqrt{81/121}$ y este es igual $9/11$