¿$\prod _{k=2}^{n} {\log k}$ es big $O$ de lo que?

Question

$$\prod _{k=2}^{n} {\log k}$$

¿es un grande-$O$ de lo que?

Puede ver $O(n!)$, pero existe una solución más?

Answer 1

Si su producto es $P(n)$, entonces $\log p (n) = \sum_{k=2}^n \log \log k \le n \log \log n$, so $P(n) \le \exp((n-1) \log \log n) = (\log n) ^ {n-1} $.

Answer 2

Desde $\log n \leq n^\alpha$, $\alpha>0$ y $n>N(\alpha)$, se puede decir

$$ P (n) \leq \prod_{k=2}^n k ^ \alpha = (¡n!) ^ \alpha, \mbox {para} n > N(\alpha) $

Esto es para cada alfa positivo, aunque el índice $N$ donde este límite empieza a ser cierto se empuja hacia delante como $\alpha\to 0$.