Dos complejos en los "Grupos de mosaicos de Conway" de Thurston

Question

Estoy tratando de leer " Grupos de baldosas de Conway "de W.M. Thurston. Francamente, estoy más interesado en convertir algunos de los algoritmos en programas de ordenador, sólo para mi propia diversión, que en entender las matemáticas con todo detalle, pero quiero entender lo que está pasando.

Thurston comienza definiendo el gráfico (Cayley) $\Gamma(G)$ de un grupo generado finitamente $G$ .

Si $G$ es un grupo, entonces su gráfico $\Gamma(G)$ con respecto a los generadores $g_1,g_2,\dots,g_n$ es un grafo dirigido cuyos vértices son los elementos del grupo. Para cada vértice $v\in\Gamma(G),$ habrá $n$ aristas de salida, etiquetadas por los generadores, y $n$ aristas entrantes: la arista etiquetada $g_i$ conecta $v$ a $vg_i.$

Es conveniente hacer una ligera modificación de este cuadro cuando un generador $g_i$ tiene orden $2.$ En ese caso, en lugar de dibujar una flecha desde $v$ a $vg_i$ y otra flecha de $vg_i$ volver a $v,$ dibujamos una única arista no dirigida etiquetada $g_i.$

Hasta ahora, todo va bien. Mi problema viene cuando extiende este gráfico a un $2-$ complejo.

Siempre que $R$ es un relator para el grupo, es decir, una palabra en los generadores que representa $1$ entonces, si se parte de $v\in\Gamma(G)$ y trazar $R,$ se vuelve a $v$ de nuevo. Si $G$ tiene presentación $$ G=\langle g_1,g_2,\dots,g_n|R_1=1,R_2=1,\dots,R_k=1\rangle $$ el gráfico $\Gamma(G)$ se extiende a un $2-$ complejo $\Gamma^2(G)$ : costura $k$ discos en cada vértice de [sic] $v\in \Gamma(G),$ uno por cada relator $R_i$ de manera que su límite traza la palabra $R_i.$ Se hace una excepción para las relaciones de la forma $g_i^2=1$ ya que esta relación ya está incorporada al hacer $g_i$ una arista no dirigida.

Thurston continúa afirmando que $\Gamma^2(G)$ está simplemente conectado. Dado un bucle, las secuencias de aristas en el camino es una palabra en los generadores que representa la identidad. Dice,

Una prueba de que esta palabra representa la identidad haciendo sustituciones utilizando las relaciones $R_i$ puede traducirse geométricamente en una homotopía del camino en $\Gamma^2(G).$

No entiendo en absoluto cómo el $k$ disco se supone que están cosidos, aunque Thurston parece considerar que esto es obvio. Estoy pensando en el disco $R_i$ como un habitual $m-$ gon, donde los son $m$ símbolos en $R_i$ y los bordes del $m-$ gon están etiquetados en secuencia con los símbolos de $R_i.$ ¿Se supone que todos estos bordes están cosidos a los bordes que emanan de $v$ ? Eso parecería requerir la auto-intersección, al menos en algunos casos, pero más adelante, Thurston parece insinuar que $\Gamma^2(G)$ está incrustado en el espacio triple. (Puede que sea una impresión falsa. Sólo he repasado el documento una vez rápidamente para determinar que me interesaba, y ahora estoy tratando de entenderlo ¡y estoy atascado en la primera página!)

También me pregunto qué es exactamente un $2-$ complejo es. Estoy pensando que es algo así como un complejo simplicial de dimensión $2$ pero allí nunca se consigue nada parecido a la auto-intersección, ¿verdad? (Hace muchos años que cursé topología algebraica, y lo poco que creo recordar es probablemente erróneo).

Answer 1

En primer lugar, la diferencia entre un complejo simplicial y un complejo de celdas tal y como se utiliza en este problema es simplemente que para un complejo simplicial se identifican los lados de los triángulos, es decir, los polígonos de 3 lados, mientras que para estos complejos de celdas más generales se identifican los lados de los polígonos sin la restricción de tener 3 lados.

Al pasar de $\Gamma(G)$ a $\Gamma^2(G)$ , empezar desde un relator $R$ y un $v \in \Gamma(G)$ . El relator $R$ es una palabra determinada en el conjunto generador: $$R = g_{i_1} g_{i_2} ... g_{i_m} $$ Asociado a la elección de $R$ y $v$ coseremos en un disco $D$ (quizás una notación más formal sería $D=D(R,v)$ es decir, un disco diferente para cada par ordenado $(R,v)$ ).

Para ello, primero hay que subdividir el límite de $D$ en $m$ arcos, o simplemente pensar en $D$ como un polígono con $m$ -Los lados.

Ahora rotula los lados de ese $D$ en orden como $g_{i_1}$ , $g_{i_2}$ , ..., $g_{i_m}$ .

Los bordes de $D$ son no todo cosido en $v$ . En cambio, esto es lo que sucede.

A partir del vértice $v=v_0$ , pegar el $g_{i_1}$ lado de $D$ a la $g_{i_1}$ borde de $\Gamma(G)$ con un punto final inicial $v_0$ y que $v_1$ sea el punto final opuesto de esa arista.

A continuación, a partir de $v_1$ , pegar el $g_{i_2}$ lado de $D$ a la $g_{i_2}$ borde de $\Gamma(G)$ con un punto final inicial $v_1$ y que $v_2$ sea el punto final opuesto de esa arista.

. . .

Continuar de forma inductiva

. . .

En el último paso, a partir de $v_{m-1}$ , pegará el $g_{i_m}$ lado de $D$ a la $g_{i_m}$ borde de $\Gamma(G)$ con un punto final inicial $v_{m-1}$ y que $v_m$ sea el punto final opuesto de esa arista.

Y ese vértice final $v_m$ se garantiza que es igual al vértice inicial original $v=v_0$ .

La razón intuitiva de este complejo $\Gamma^2(G)$ está simplemente conectada es debido a la construcción: los relatores definitorios han sido todos eliminados por la costura en los discos. Si se quisiera verificar formalmente que esto es cierto, habría que aplicar el teorema general de Van Kampen.

Por último, no hay ninguna implicación de que $\Gamma^2(G)$ se incrusta en el espacio 3. La construcción de $\Gamma^2(G)$ se lleva a cabo en un nivel abstracto, utilizando la topología del cociente.