Encontrar el grupo de homología de cierta simplicial de un complejo

Question

Hay un ejercicio en mi libro de texto (traducido del Chino):

Calcular la homología grupo de la simplicial complejo de $K$ corresponde a la siguiente gráfica

Es difícil para mí encontrar la $n$-simplex en $K$. Denotar $K_n$ como el conjunto de $n$-simplex de $K$, entonces es claro que $K_n$ está vacía para $n \neq 0,1,2$. Para $K_0$, $K_1$ y $K_2$, me consideran tres posibilidades:

1. $K_2 = \{ [P_0P_1P_4], [P_1P_2P_4], [P_2P_3P_4],[P_0P_1P_2],[P_1P_2P_3] \}$; $K_1 =\{ [P_0P_1], [P_1P_2],[P_2P_3],[P_0P_2],[P_0P_4], [P_2P_4],[P_1P_3],[P_1P_4],[P_3P_4] \}$; $K_0 = \{ [P_0],[P_1],[P_2],[P_3],[P_4] \}$.

2. $K_2 = \{ [P_0P_1P_4], [P_1P_2P_4], [P_2P_3P_4] \}$; $K_1 =\{ [P_0P_1], [P_1P_2],[P_2P_3],[P_0P_4], [P_2P_4],[P_1P_4],[P_3P_4] \}$; $K_0 = \{ [P_0],[P_1],[P_2],[P_3],[P_4] \}$.

3. $K_2 = \{ P_0P_1P_2],[P_1P_2P_3] \}$; $K_1 =\{ [P_0P_1], [P_1P_2],[P_2P_3],[P_0P_2],[P_1P_3] \}$; $K_0 = \{ [P_0],[P_1],[P_2],[P_3] \}$.

Todos estos habían característica de Euler $1$.

Pero la respuesta dada en el libro dice $H_1(K) \cong R^3$, $H_0(K) \cong R$, $H_n(K) = 0$ para otros $n$. La característica de Euler no es $1$, por lo que yo estaba equivocado.

Por favor, ¿puedes decirme cuáles son las $n$-simplex?

Muchas gracias!

Answer 1

Creo que se pretende asumir que los triángulos son "huecos". En otras palabras, el complejo cuenta con sólo células de 0 y 1-células. También creo que el uno-las células son exactamente las líneas dibujadas en la figura; no hay ninguna línea de pase "uno encima del otro". Así $K_1$ como en tu segunda sugerencia.