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¿Por que $L^p[0,1]$, $1\le p < \infty$ hace la función $n^\alpha*\chi_{[0,1/n]}$ converge débil a 0?

Mi hipótesis es que esta función converge a 0% débil iff $ p

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Davide Giraudo Puntos 95813

Deje $f_n:=n^\alpha \chi_{[0,1/n]}$. Tenemos $$\lVert f_n\rVert_p=n^{\alpha-\frac 1p}$$ por lo tanto, si $\alpha <\frac 1p$, hay convergencia en norma a $0$ por lo tanto la debilidad de la convergencia, y si $\alpha>1/p$, la secuencia de $\lVert f_n\rVert_p$ no está delimitado en $\mathbb L^p$, por lo que no puede ser débilmente convergente.

Queda por tratar el caso $\alpha=1/p$. Recordar que si $1\leqslant p<\infty$, un funcional lineal se puede representar por una función en $\mathbb L^q$ donde $\frac 1p+\frac 1q=1$. Mediante una aproximación argumento, tenemos que hacer con el caso de $g=\chi_B$ donde $B\subset [0,1]$ y obtenemos la debilidad de la convergencia a $0$ al $p\gt 1$.

Al $p=1=\alpha$, las cosas son diferentes, ya que $\int f_n\cdot 1=1$.

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