¿Hay algo malo en mi solución?

Question

Tenemos $f:(-1,\infty)\rightarrow\mathbb{R},f(x)=\frac{x}{x+1}$ y necesitan mostrar que $an=\sum{k=1}^n f(k)-\int_0^n f(t)dt$ es limitado.

Aquí le damos todos los pasos:

$f'>0\Rightarrow f$ estrictamente creciente. Por lo tanto $f(c_k)>f(k)$

donde $f(c_k)=\int_k^{k+1}f(x)dx,\forall c_k\in[k,k+1]$.

Por cierto: $$\sum_{k=1}^n f(k)

$\Rightarrow a_n

¿Es correcto lo que yo escribí esto?

¿Cómo puedo continuar desde aquí?

Answer 1

$$ uso \; : \int {0} ^ {n} f (t) dt = \sum {1} ^ {n} \int {k-1} ^ {k} f (t) dt\; \; \then (1): f\; es \; aumento de \;so:f(k-1)\leq f (t) \leq f (k) \f(k-1)\leq \int{k-1}^{k}f (t) dt\leq f (k) \finally: 0\leq a {n} \leq \sum{1}^{n}f (k)-f (k-1) = f (n)-f (0) \underset {\infty} {\rightarrow}1 $$

Answer 2

No hay nada de malo hasta ahora. Seguir evaluando su lado derecho: $\int \limits _1 ^{n+1} f \Bbb \space d t - \int \limits _0 ^n f \Bbb \space d t = \int \limits _n ^{n+1} f \space \Bbb d t - \int \limits _0 ^1 f \space \Bbb d t = 1 + \ln {n \over n+1} - 1 + \ln 2 = \ln 2 + \ln {n \over n+1}$. Ahora tenga en cuenta que $\frac 1 2 \leq \frac n {n+1}

Answer 3

$$an=\sum{k=1}^{n}f(k)-\int{0}^{n}f(t)\,dt = \sum{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}-\int{0}^{n}\frac{dt}{t+1}\,dt=H{n+1}-1-\log(n+1)$ $ es negativo porque: %#% $ $$ \int{k-1}^{k}\frac{dt}{t+1}=\int{k}^{k+1}\frac{dt}{t}\in\left(\frac{1}{k+1},\frac{1}{k}\right) $ #% es un positivo disminuyendo la función en $g(t)=\frac{1}{t}$. Por otro lado: $\mathbb{R}^+$ $ da que aumenta el % de secuencia $$ a_{n+1}-a_n = \frac{1}{n+2}-\log\left(1+\frac{1}{n+2}\right)\geq 0$, y da la desigualdad de Hadamard de Hermite :

${an}{n\geq 1}$ $ Que tenemos, de hecho, $$\begin{eqnarray} an &=& \sum{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k+1}-\int{k}^{k+1}\frac{dt}{t}\right) \geq \frac{1}{2}\sum{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k}\right)\geq -\frac{1}{2}.\end{eqnarray} $ $ $$ \lim{n\to +\infty}a{n} = -1+\gamma = -0.422784335\ldots $ Dónde está la constante de Euler-Mascheroni.