¿Por qué estas definiciones de grupos de tipo central son equivalentes?

Question

Deje $G$ ser un grupo finito.

1. En el célebre papel de Howlett y Isaacs, En los Grupos de la Central Tipo, Matemáticas. Z. (1983)., el grupo $G$ está llamado a ser de central tipo si $G$ tiene un irreductible personalidad compleja $\chi$ tal que $\chi(1)^2=[G : Z(G)]$. (En otras fuentes, el cociente $G/Z(G)$ está llamado a ser de central tipo, donde $G$ satisface por encima de la propiedad).
   
2. Para cada una de las 2-cocycle $f \in Z^2(G, \mathbb{C}^*)$, un complejo trenzado grupo de álgebra, que se denota por a $\mathbb{C}^fG$, se define mediante la ampliación de la multiplicación $g_1.g_2:=f(g_1, g_2)g_1g_2$, $\forall g_1, g_2 \in G$, de todas las combinaciones lineales de elementos de $G$ con coeffecients en $\mathbb{C}$. Se sabe que el complejo trenzado grupo de álgebra $\mathbb{C}^fG$ puede ser un simple anillo. Un grupo de $G$ está llamado a ser de central tipo, si el trenzado complejo grupo de álgebra $\mathbb{C}^f \overline{G}$ es simple para algunos $2$-cocyle $f$ $\overline{G}$ donde $\overline{G}=G/Z(G)$ . (Por ejemplo, ver las memorias de Ofir Schnabel sobre este tema).
   
   Sé que $\mathbb{C}^fG$ es simple si y sólo si $G$ posee sólo una clase de irreductible $f$-proyectiva carácter. Pero no puedo ver la relación de estas dos definiciones. Así que mis preguntas son las siguientes:
   PREGUNTA 1: Cómo la sencillez de $\mathbb{C}^f \overline{G}$ implica que el $G$ es de central tipo de acuerdo a la definición dada en $1$? (Actualización: esta cuestión es resuelta por el Teorema $1$ de este documento. La declaración y la prueba del teorema se da en las respuestas).
   
   Más Debates:
   
   En el documento se mencionan en $1$, los autores probaron los siguientes brillante teorema:
   
   Teorema (Howlett-Isaacs): Si $N \lhd G$ $\lambda \in Irr(N)$ $G$- invariante irreductible carácter de $N$ tal que ${\lambda}^G$ es un múltiplo de algunos $\chi \in Irr(G)$, $G/N$ es solucionable.
   
   

Se menciona en este artículo que si $\mathbb{C}^fG$ es simple, entonces Howlett-Isaacs teorema implica que $G$ es solucionable.


PREGUNTA 2: ¿por Qué la anterior afirmación es verdadera?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

El Teorema $1$ el siguiente documento responde nuestra pregunta $1$.
DeMeyer, F. R., Janusz, G. J. grupos Finitos con una representación irreducible de grado mayor. De matemáticas. Z. 108 (1969).

La respuesta a la 2ª Pregunta:
Suponga que $\mathbb{C}^fG$ es simple. Por lo tanto, $G$ tiene un complejo irreductible $f$-proyectiva de caracteres $\chi$ tal que ${\chi(1)}^2=|G|$. Es bien sabido que $\chi$ determina una irreductible carácter ordinario $\chi^*$ el mismo grado en $G^*$ donde $G^*$ es una extensión central de $G$ (es decir, un Schur cubierta de $G$).
Ahora tenemos $G^*/C \cong G$${\chi^*(1)}^2 = |G| = [G^* : C]$. Por lo tanto, $G^*$ es de central tipo (véase la definición 1). Restringir el carácter$\chi^*$$C$, ${\chi^*}_C = \chi^*(1) \lambda$ donde $\lambda$ es un carácter lineal de $C$. Ahora ${\lambda}^{G^*}(1) = [G^* : C]$. Por otro lado, $\chi^*(1) \chi^*$ es un constituyente de ${\lambda}^{G^*}$. La comparación de los grados obtenemos que ${\lambda}^{G^*} =\chi^*(1) \chi^* $. Ahora el Howlett-Isaacs teorema de los rendimientos.