Demostrar que existe un $c\in(-3,3)$ tal que $ \ \ g(c) \cdot g''(c)<0$.

Question

$f(x)$ es una función derivable y $g(x)$ es una doble función derivable tal que $|f(x)|\leqslant 1$$f'(x)=g(x)$. Si $$f(0)^2+g(0)^2=9$$

demostrar que existe una $c\in(-3,3)$ tal que$ \ \ g(c) \cdot g''(c)<0$.

Intento:

Vamos a definir una función de $h(x) = g(x) g~'(x)$. Entonces

$$h'(x) = g(x)g''(x) + \left( g'(x) \right)^2 \tag 1$$

Si podemos demostrar que para algunos $c \in (-3,3), h~'(c) < 0,$ $$g(c)g''(c) <0 \tag 2$$

También, $$\left|f(0)\right| < 1 \implies f'(0) \in (-3,-2\sqrt 2 ) \cup (2\sqrt 2,3) $$

Podría alguien por favor que me aconsejan ¿cómo avanzar a partir de aquí.

Muchas gracias por tu ayuda en este sentido.

Answer 1

(A menos que cometí algún error, la declaración contiene de hecho con $(-3, 3)$ reemplazado por $(-a, a)$ cualquier $a > 1/\sqrt 2$.)

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $$ g(0) \ge 0 \text{ and } g'(0) \ge 0 \, .$$ (De lo contrario, reemplace $f$ $g$ por $$ f_1(x) = u f(vx) \, , g_1(x) = uvg(vx) $$ donde $u = \pm 1$ $v = \pm 1$ son elegidos de forma adecuada.)

Suponga que $a > 0$ y $$ g(x) g"(x) \ge 0 \text{ para todo } x \en (0, a) \, . \tag 1 $$ Definir $$ h(x) = g(x)^2 \, . $$ Entonces $$ h(0) = 9 - f(0)^2 \ge 8 \, , \\ h'(x) = 2 g(x) g'(x) \, , \, h'(0) \ge 0 \, , \\ h"(x) = 2 g'(x)^2 + 2 g(x) g"(x) \ge 0 \, . $$ De $h'' \ge 0$ sigue que $h'$ es creciente y por lo tanto no negativo en $[0, a]$. En consecuencia, $h$ es creciente y por lo tanto, $h(x) \ge 8$ todos los $ x \in [0, a]$.

Por lo $f'(x) = g(x) \ge \sqrt 8$ todos los $ x \in [0, a]$ y el Media-teorema del valor da $$ 2 \ge f(a) - f(0) \ge (0) \, \sqrt 8 $$ y por lo tanto $$ un \le \frac{2}{\sqrt 8} = \frac{1}{\sqrt 2} \, . $$

De ello se deduce que para cualquier $a > 1/\sqrt 2$, $(1)$ no se puede sostener y $g(c)g''(c) < 0$ algunos $c \in (0, a)$.