zócalos de anillos semiperfecto

Question

Para los lectores de beneficio, un par de definiciones para un anillo de $R$.

La izquierda (a la derecha) zócalo de $R$ es la suma de todos los mínimos de la izquierda (derecha) de los ideales de la $R$. Puede suceder que es cero si no minimals existen.

Un anillo es semiperfect si todos finitely módulos generados han proyectiva cubre.

Hay un semiperfect anillo con un cero a la izquierda zócalo y distinto de cero a la derecha zócalo?

Alguien me preguntó recientemente, y de la nada saltó a la mente de cualquier manera. En cualquier caso, estoy interesado en un método de construcción que es susceptible de crear desequilibrio en los zócalos como este.

Si por casualidad usted conoce la respuesta cuando semiperfect se fortalezca para ser "algo perfecto" o "semiprimary' o 'algunos secundarios Artinian', a continuación, por favor, incluir un comentario. (Por supuesto, un anillo tiene un valor distinto de cero zócalo en un lado en el que se Artinian.)

Answer 1

Aquí está un ejemplo, debido a los bajos de un izquierda anillo perfecto que no está bien perfecto. Ver Lam Primer Curso, Ejemplo 23.22 para una exposición (que es la contraria a la que yo uso a continuación).

Deje $k$ ser un campo, y deje $S$ ser el anillo de (digamos) de la columna-finito $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$-matrices de más de $k$. Deje $E_{ij}$ el valor de la habitual "de la matriz de unidades". Considere la posibilidad de $J = \operatorname{Span}\{E_{ij} : i > j\}$ el conjunto de triangular inferior matrices en $S$ que tiene sólo un número finito distinto de cero entradas, todas por encima de la diagonal.

Deje $R = k \cdot 1 + J \subseteq S$. A continuación, $R$ es un anillo local con radicales $J$, y se muestra a la izquierda perfecta en la referencia anterior. Como mencioné en mi comentario anterior, esto significa que $R$ es semiperfect y tiene un valor distinto de cero a la derecha zócalo.

Yo reclamo que $R$ tiene un cero a la izquierda zócalo. Ciertamente, cualquier mínimo izquierda ideal se encuentran dentro de la única máxima de la izquierda ideal $J$. Esto es suficiente para mostrar que todos los $a \in J \setminus \{0\}$ ha dejado annihilator $ann_l(a) \neq J$. Para, a continuación,$Ra \cong R/ann_l(a) \not \cong R/J = k$. De hecho, si $a \in J$ $a = \sum c_{ij} E_{ij}$ para algunos escalares $c_{ij}$ que son casi todos de cero. Deje $r$ ser máxima tal, que no existe $c_{rj} \neq 0$. Entonces existen un número finito de $j_1 < \cdots < j_r$ tal que $c_{r j_p} \neq 0$. De ello se desprende que $E_{r+1,r} \in J$ con $$E_{r+1,r}a = E_{r+1,r} \sum c_{ij} E_{ij} = \sum c_{ij} E_{r+1,r} E_{ij} = \sum_p c_{i j_p} E_{r+1,j_p} \neq 0.$$ In particular, $E_{r+1,r} \J \setminus ann_l(una)$ como se desee.