¿No seguro por qué este valor surge cuando estoy tratando de encontrar la intersección tangencial?

Question

si tenemos en cuenta el círculo, cuya ecuación está dada por $$x^2+(y-2)^2=1$$ y la parábola $$y=kx^2$$

Queremos encontrar los valores de $k$ para que la parábola se toque el círculo (no se cruzan, pero el tacto).

Solución Actual

Deje que nosotros, simplemente, sustituir $x^2=\frac{y}{k}$, en el círculo, esto nos da: $$\frac{y}{k}+y^2-4y+4=1 \Rightarrow ky^2+(1-4k)y+3k=0 $$

Ahora evaluando $$\Delta=0$$ somos la solución para los valores de $k$ para que la parábola sólo se cruza con el círculo de una vez.

Y así llegamos a la $$\Delta=(1-4k)^2-12k=1-8k+16k^2-12k^2=4(k^2-2k)+1$$ $$\Delta=4(k-1)^2-3=0\Rightarrow k=\frac{2\pm\sqrt{3}}{2}$$

Sin embargo, tras una inspección más, el valor específico de la $$k=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$$ causas de la parábola que nunca se cruzan el círculo, y por lo tanto sólo tomamos el valor de las otras que hemos encontrado.

Mi Problema

Mientras esta pregunta es "resuelto", no sé por qué un valor de $k$ rosa en el primer lugar? Estoy interpretando el discriminante de forma incorrecta?

Debido a que un valor de $k$ hará que la parábola toque el círculo dos veces debido a que, por supuesto, la simetría de este ejemplo en particular.

Answer 1

El paso en el cual se esconde la introducción de otros, inelegible raíces, es esta:

Ahora evaluando $$\Delta=0$$ somos la solución para los valores de $k$ para que la parábola sólo se cruza con el círculo de una vez.

El problema aquí es que el $\Delta = 0$ garantiza una raíz de multiplicidad (al menos) $2$ a del sistema de ecuaciones, pero no garantiza que el doble de la raíz es real. De hecho, el segundo valor de $k$ no en el hecho de corresponder a una doble raíz, sólo que los respectivos raíz es complejo, fuera del avión real, por lo que no cuenta como una intersección de la real cónicas.

Para seguir lo que sucede paso a paso, tomar el valor de $k=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$ y sustituir de nuevo en la ecuación de $ky^2+(1-4k)y+3k=0$. Puesto que ya está establecido que $\Delta=0$ el doble de la raíz de $y$ está dada por:

$$ y = \frac{1-4k}{2k}=\frac{3 - 2 \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}=(3 - 2 \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = -\sqrt{3} $$

A continuación, $y= k x^2$ reduce a $x^2 = \frac{y}{k} = \frac{-2\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = -2\sqrt{3}(2+\sqrt{3}) = -2(3 + 2 \sqrt{3}) \lt 0$ que no tiene raíces reales. Las raíces complejas $x=\pm i\,\sqrt{2(3 + 2 \sqrt{3})}$ do en realidad corresponden a la doble raíces de las dos ecuaciones, pero no son "intersecciones" en el avión real.

Answer 2

Para encontrar la solución "perdida" para $k=(2-\sqrt{3})/2$, trazar las curvas en un plano de coordenadas donde $x$ es imaginario puro en vez de real, mientras que $y$ es todavía real. Lo que aparece como un círculo en el plano real de todos ahora es una hipérbola y la parábola se dobla hacia abajo y no hacia arriba para convertirse en tangente a esta hipérbola.

Por lo tanto, la solución de "perdida" implica a coordenadas imaginarias.

Answer 3

El problema es que en su sustitución, que requieren $x^2=\frac{y}{k}\ge0$ y así:

$${y\over k}=\frac{4k-1\pm\sqrt{4(k^2-2k)+1}}{2k^2}\ge0$$

Cuando $k=\frac{2-\sqrt3}{2}$, $\Delta=0$ así que tenemos una solución pero: $$x^2={y\over k}=\frac{4-2\sqrt3-1}{2({2-\sqrt3\over2})^2}

es negativo por lo tanto, que esta solución debe ser rechazada. no asegura la $\Delta=0$ $y\ge0$.