Naturaleza local de una densidad de carga superficial

Question

El límite $S$ de una cavidad en un (perfecto) conductor muy grande es una superficie conectada compacta (suave). Se coloca una carga puntual positiva $+q$ dentro de esta cavidad. Según la ley de Gauss, sabemos que la carga inducida total en la superficie $S$ es $-q$. Sin embargo, ¿es la densidad de carga superficial en $S$ necesariamente localmente negativa (en cada punto de $S$)? ¿Cómo probar (o refutar) esta afirmación?

Estoy buscando un argumento preciso y robusto, no respuestas basadas en conjeturas.

Answer 1

Supongamos lo contrario, supongamos que existe un punto tal que la densidad de carga local es positiva, digamos punto A.

Ahora, según la ley de Gauss, la carga total en la superficie interior es negativa. Por lo tanto, debe existir un punto B en el que la densidad de carga local sea negativa (de lo contrario, la carga neta será positiva).

Ahora considera la línea de campo desde el punto A. Se originará en el conductor y puede tener dos posibilidades:

1) Se encuentra con la carga dada: no es posible ya que la carga dada es positiva.

2) Se encuentra en algún punto en el conductor.

Dado que el primer caso es imposible, tenemos que aceptar el segundo. La curva azul es la línea de campo.

Ahora considera $\oint \vec E \cdot \vec dx$ sobre el lazo coloreado (azul y naranja) como se muestra en la figura. Podemos dividir esta integral en dos partes:

1) De A a B dentro del conductor (Curva azul): dado que esta es una línea de campo (según la segunda posibilidad), la integral es algún número real distinto de cero.

2) De B a A dentro del conductor (Curva naranja): como el campo es cero, la integral es cero.

Así que finalmente tenemos

$\oint \vec E \cdot \vec dx=$ número real distinto de cero

lo cual a primera vista contradice el hecho de que el campo E es conservativo. ¡Contradicción! ¡Hecho!