Carácter local de una densidad superficial de carga

Question

Límite S de una cavidad en un gran conductor (perfecto) es una superficie (suave) compacta conectada. Un punto positivo carga + q se encuentra dentro de esta cavidad. De la ley de Gauss sabemos que la carga total inducida en la superficie S es - q. ¿Sin embargo, es la densidad superficial de carga en S necesario localmente negativa (en cada punto de S)? ¿Cómo probar (o refutar) esta afirmación?

Estoy buscando un argumento preciso, robusto, no saludar de mano tipo de respuestas.

Answer 1

Asumir el contrario,supongamos que existe un punto tal que el local de la densidad de carga es positiva,decir que el punto A.

Ahora, a partir de la ley de Gauss del total de carga en la superficie interior es negativo.Por lo que debe existir un punto B en el que el local de la densidad de carga es negativa(de lo contrario la carga neta será positiva).

Ahora, considere la línea de campo desde el punto A. se originan en el conductor y puede tener dos posibilidades:

1)Se cumple con la carga:no es posible ya que la carga es positiva.

2)Se cumple en algún punto sobre el conductor.

Desde que el primer caso es imposible,tenemos que aceptar la segunda.La curva azul es la línea de campo.

Ahora considere el $\oint \vec E \cdot \vec dx$ sobre el lazo de color(azul y naranja), como se muestra en la figura.Podemos dividir esta integral en dos partes:

1)a a B en el interior del conductor(curva Azul):dado que esta es una línea de campo(de acuerdo a la segunda posibilidad) la integral es algo de no-cero de número real.

2)B a a en el interior del conductor(curva Naranja):dado que el campo es cero,la integral es cero.

Así que, finalmente,hemos

$\oint \vec E \cdot \vec dx=$cero número real

que en el rostro de ella se contradice con el hecho de que el el E campo es conservativo.Contradicción. Hecho!