¿Qué significa que una norma $\|x\|$ tienda a infinito?

Question

Estoy investigando las funciones coercitivas.

La definición dice: Una función continua $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es llamada coercitiva si $$\lim_{\|x\| \to \infty} f(x) = +\infty$$

1. ¿Qué significa una norma hacia infinito?
2. Tengo dos funciones, una de las cuales es coercitiva y otra no. Tengo dificultades para entender la diferencia. $$i)\space g(x) = x_1^6 + 5x_2^4 + x_3 - 3x_1x_2x_3^3; \space x \in \mathbb{R}^3\implies \text{no coercitiva}\\ ii)\space h(x) = x_1^4 + x_2^4 - 3x_1^3 + x_2; \space x \in \mathbb{R}^2 \implies \text{coercitiva}$$

Answer 1

Para cada $a$ existe $b$ tal que para cada $x$ con $\|x\| >b$, tenemos $f(x)>a$.

Answer 2

Una norma que tiende a infinito se puede ver como la longitud de un vector que tiende a infinito, es decir, una "flecha" infinitamente larga que parte del origen.

Según tu definición, una función es coercitiva si el valor de la función también tiende a infinito, independientemente de la dirección del vector.

Entonces, tu segundo ejemplo es coercitivo en $\mathbb{R}^2$ porque para la norma que tiende a infinito, tanto $x_1$, $x_2$ (o ambos) deben tender a infinito. Dado que tanto $x_1$ como $x_2$ tienen términos de cuarto orden dominantes positivos, también $h$ tiende a infinito.

Tu primer ejemplo no es coercitivo en $\mathbb{R}^3$ porque si tomas $\mathbf{x}=(1,1,R)$ y dejas que $R$ tienda a infinito, la norma de $\mathbf{x}$ irá a infinito, pero debido al término dominante de tercer orden negativo, $g$ no irá a infinito.

Answer 3

Los límites implícitos se entienden más fácilmente en términos de secuencias. Así, \begin{equation} \lim_{||x||\rightarrow \infty}f(x)=\infty \end{equation> es equivalente a decir que para cada secuencia $(x_n)$ tenemos \begin{equation} ||x_n|| \stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} \infty \quad\Rightarrow \quad f(x_n) \stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} \infty \end{equation>

Answer 4

Una pista para 2.:

"Coercitivo" significa que $f(x)$ es grandemente positivo cuando $\|x\|$ es grande. Ahora una de las dos funciones dadas incluso puede ser grandemente negativa para $x$ adecuados lejos del origen. Para la otra función, debes demostrar que los términos de mayor grado siempre superan a los demás términos cuando $\|x\|$ es grande, de modo que solo la contribución de los términos de mayor grado cuenta en el límite.