La fórmula de Machin y sus primos

Question

Existe una fórmula muy conocida de John Machin: $$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \left(\frac{1}{5}\right) - \arctan \left(\frac{1}{239}\right).$$ En realidad, pertenece a la familia de Fórmulas de tipo maquinal de la forma $$\frac{\pi}4 = \sum_k a_k \arctan {b_k}^{-1}\quad\text{for some integers}\quad(a_k,b_k)$$

Por ejemplo: $$\frac{\pi}{4} = \arctan \left(\frac{1}{2}\right) + \arctan \left(\frac{1}{3}\right) = 2 \arctan \left(\frac{1}{2}\right) - \arctan \left(\frac{1}{7}\right)$$ y así sucesivamente.

Estas fórmulas son bastante fáciles de demostrar, pero ¿hay alguna manera fácil de generar tales $(a_n, b_n)$ ?

Answer 1

La mejor manera de entender este tipo de identidades es en términos de Enteros gaussianos -- números complejos cuyas partes reales e imaginarias son enteros.. Haré algunos ejemplos y luego explicaré la configuración general.

Por ejemplo, fíjate que tenemos la identidad $$(5+i)^4 = 476+480 i = 2 (1+i) (239+i). \quad (*)$$ (Multiplícalo y verás).

La multiplicación de números complejos suma su argumentos 1 . Así que $$4 \arg(5+i) = \arg(1+i) + \arg(239+i)$$ o $$4 \tan^{-1} \frac15 = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} \frac1{239}$$ como se desee. De la misma manera, $(2+i)(3+i) = 5(1+i)$ explica otra de sus identidades.

En general, siempre que tengamos $\prod (a_k+i)^{b_k} = r (1+i)$ para $r$ un real positivo, obtenemos $\sum b_k \tan^{-1} a_k^{-1} = \pi/4$ .

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Entonces, ¿cómo podemos encontrar fórmulas como $(*)$ ? El punto clave es que los enteros gaussianos, al igual que los enteros ordinarios, tienen una factorización única en primos. Los primos de los enteros gaussianos son de tres tipos: (a) El primo $1+i$ (b) Si $p$ es un primo entero que es $3 \mod 4$ entonces $p$ también es un primo en los enteros de Gauss. (c) Si $p$ es un primo entero que es $1 \mod 4$ entonces podemos escribir $p$ como $(q+ri)(q-ri)$ y $q+ri$ y $q-ri$ serán ambos primos en los enteros de Gauss. Además, las potencias de $i$ son unidades que deben ser ignoradas en las factorizaciones primarias, al igual que $-1$ en los enteros ordinarios.

Siempre que tengamos una identidad como $(*)$ debemos tener los mismos factores primos en ambos lados. Por ejemplo, $(239+i) = (3-2i)^4 (1+i) \cdot i$ , $5+i = (3-2i)(1+i)$ y $2 = (1+i)^2 (-i)$ , por lo que ambos lados de $(*)$ son $(3-2i)^4 (1+i)^4$ .

La forma en que encontraría más identidades como ésta sería tomar un montón de números de la forma $a_k+i$ y factorizarlos en los enteros de Gauss. Luego buscaría alguna forma de multiplicarlos juntos para que la potencia resultante de $1+i$ es impar, y tal que el exponente de $q+ri$ es igual al exponente de $q-ri$ para todos los primos $q \pm ri$ del tipo (c). Esto hará que $\prod (a_k+i)^{b_k}$ en algo de la forma $(1+i)^{\mathrm{odd}} (\mbox{something real})$ . Utilizando $(1+i)^2 = 2i$ podemos convertir esto en $\prod (a_k+i)^{b_k} = (1+i) (\mbox{something either purely real or purely imaginary})$ y así encontrar una nueva fórmula para $\pi/4$ .

Tenga en cuenta que encontrar $b$ con las propiedades especificadas es una cuestión de álgebra lineal, como mostraré en el siguiente ejemplo.

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Ejemplo: Supongamos que quiero una fórmula que incluya $\tan^{-1} (1/2)$ , $\tan^{-1} (1/5)$ y $\tan^{-1}(1/8)$ . (Estoy engañando: Resulta que sé que tal cosa existe. Un ejemplo más realista sería empezar con $\tan^{-1}(1/b)$ , para $b$ que van desde $2$ a $10$ y luego ver qué subconjunto funciona. Pero eso consumiría demasiado tiempo para escribirlo aquí).

Aquí están las factorizaciones en los enteros de Gauss: $$2+i \ \mbox{is prime}$$ $$5+i = (1+i)(3-2i)$$ $$8+i = (3+2i)(2-i)$$

Así que $$(2+i)^{b_1} (5+i)^{b_2} (8+i)^{b_3} = (1+i)^{b_2} (2+i)^{b_1} (2-i)^{b_3} (3-2i)^{b_2} (3+2i)^{b_3}.$$

Quiero $b_2$ para ser impar, $b_1=b_3$ y $b_2=b_3$ . Un poco de álgebra lineal encuentra la solución $b_1=b_2=b_3 =1$ . Así que descubro la identidad $$(2+i)(5+i)(8+i) = 65 (1+i)$$ y $$\tan^{-1} \frac12 + \tan^{-1} \frac15 + \tan^{-1} \frac18 = \frac{\pi}{4}.$$

1 Esta fórmula puede estar desviada por un múltiplo entero de $2\pi$ . Véase el comentario de Joel Cohen más abajo. Pero supongo que usted está igual de contento con una fórmula para $\pi/4+2 k \pi$ .

Answer 2

La identidad $\cot^{-1} x = 2 \cot^{-1} 2x - \cot^{-1} (4x^3 + 3x)$ puede utilizarse para generar un número infinito de estas identidades. (Obtenido de la página de mathworld: http://mathworld.wolfram.com/Machin-LikeFormulas.html (véase la ecuación 29)

Answer 3

Para las fórmulas de 2 términos, he calculado una fórmula generalizada que es, creo, más eficiente que cualquier otra fórmula de Machin existente. ver mi post: fórmula de Machin generalizada de 2 términos (una forma eficiente de calcular $\pi$ )