¿Cómo se resuelve esta ecuación $u_{xy}+u_x+uy=2$? ¿Sé cómo resolver este $u{xy}+u_y=0$ (con un cambio de variables e integrando el factor $e^x$) pero en este caso otro término fue agregado $(u_x)$, debo seguir la misma idea o requiere de un método completamente diferente?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$$u_{xy}+u_x+u_y=2$$ Deje $\quad u(x,y)=x+y+v(x,y)\quad$, lo que conduce a : $$v_{xy}+v_x+v_y=0$$ La búsqueda de soluciones particulares, en la forma $u=X(x)Y(y)$
$X Y'+X Y+XY'=0\quad;\quad\frac{X}{X}=-\frac{Y'}{Y+Y'}=\lambda \qquad\begin{cases} X=e^{\lambda x} \\ Y=e^{-\frac{\lambda}{1+\lambda}y}\end{casos}$
Soluciones particulares : $\quad v_\lambda(x,y)=e^{\lambda x-\frac{\lambda}{1+\lambda}y}$
La solución general es cualquier combinación lineal de las soluciones particulares.
Solución General expresada en la forma de la integral : $$v(x,y)=\int f(\lambda)e^{\lambda x-\frac{\lambda}{1+\lambda}y}d\lambda$$ $f(\lambda)$ es una función arbitraria, en la medida en que la integral sea convergente. $$u(x,y)=x+y+\int f(\lambda)e^{\lambda x-\frac{\lambda}{1+\lambda}y}d\lambda$$ O, de manera equivalente : $$u(x,y)=x+y+\int g(\mu)e^{-\frac{\mu}{1+\mu}x+\mu y}d\mu$$ La función de $f(\lambda)$ o $g(\mu)$ , así como los límites de la integral, tiene que ser determinado de acuerdo con las condiciones de contorno. Esto generalmente sorteo para resolver una ecuación integral. Sin bien definidas las condiciones de contorno de no más de cálculo es posible, aunque no se decir si es posible resolver analíticamente y si hay una forma cerrada para la solución.
