Prueba que f es Riemann Integrable

Question

Teorema de 6.1.8 una: Si $f$ es continua en a $[a,b]$ $f$ es Riemann Integrable en $[a,b]$.

Teorema de 6.1.7: Un almacén de valor real de la función de $f$ es Riemann Integrable en $[a,b]$ si y sólo si para cada a $e > 0$, existe una partición de $P$ $[a,b]$ tal que $U(\mathcal{P},f) - L(\mathcal{P},f) < e$. Además, si $P$ es una partición de a $[a,b]$ para que la desigualdad anterior se mantiene, entonces la desigualdad también tiene para todos los refinamientos en $P$.

Teorema de 6.1.13: Un almacén de valor real de la función f de a $[a,b]$ es Riemann Integrable si y sólo si el conjunto de discontinuidades de f tiene medida cero.

Así, obtenemos cualquier resumen de la partición de $[a,c-d]$ y uno de $[c+d,b]$ tal que $U[\mathcal{P}_1,f]-L[\mathcal{P}_2,f] < \frac{e}{3}$?

Ahora estoy confundido en cuanto a cómo definir $d$.

Por favor, corrija/ayuda!

Answer 1

Desde $f$ es continua en a $[a, c - \delta]$ $[c + \delta, b]$ por lo tanto es integrable en estos dos intervalos.

Deje $P_{1}$ ser la partición de $[a, c - \delta]$ $P_{2}$ ser la partición de $[c + \delta, b]$ tal que $U(P_{1}, f) - L(P_{1}, f) < \epsilon / 3$$U(P_{2}, f) - L(P_{2}, f) < \epsilon / 3$. Ahora elija $P_{3} = \{c - \delta, c + \delta\}$ como una partición de $[c - \delta, c + \delta]$.

El truco aquí es elegir a $\delta$ lo suficientemente pequeño tal que $U(P_{3}, f) - L(P_{3}, f) < \epsilon / 3$. Claramente tenemos $$U(P_{3}, f) - L(P_{3}, f) = \{c + \delta - (c - \delta)\}(M_{c} - m_{c}) = 2\delta(M_{c} - m_{c})$$ where $M_{c} = \sup \{f(x)\mid x \in [c - \delta, c + \delta]\}$ and $m_{c} = \inf \{f(x)\mid x \in [c - \delta, c + \delta]\}$. Clearly $M_{c} - m_{c} \leq 2M$ where $M = \sup \{|f(x)|\mid x \in [a, b]\}$ and therefore if we choose $\delta < \epsilon / 12M$ then $$U(P_{3}, f) - L(P_{3}, f) = 2\delta(M_{c} - m_{c}) < 2\cdot\frac{\epsilon}{12M}\cdot 2M = \frac{\epsilon}{3}$$

Deje $P = P_{1} \cup P_{2} \cup P_{3}$ $P$ es una partición de a $[a, b]$ tal que

$\displaystyle \begin{aligned}U(P, f) - L(P, f) &= U(P_{1}, f) - L(P_{1}, f) + U(P_{2}, f) - L(P_{2}, f) + U(P_{3}, f) - L(P_{3}, f)\\ &< \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3}\\ &= \epsilon\end{aligned}$

Por lo tanto $f$ es Riemann-Integrable en $[a, b]$.