¿Cómo encontrar el siguiente derivado?

Question

Aquí está el problema completo, pero (c) es la parte que estoy teniendo problemas con el, ya lo he solucionado (a) y (b):

(a) Si $t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$,$-\pi<x<\pi$, el boceto de un triángulo recto o el uso de identidades trigonométricas para mostrar que $$\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\qquad\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$$

(b) Mostrar que el $$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\qquad\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$$

(c) Mostrar que el $$dx = \frac{2}{1+t^2}dt$$

Soy consciente de que es relativamente sencillo obtener el resultado correcto por $x = 2\arctan t$ e si $y = \arctan x$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$, por lo que obtenemos el resultado anterior. Mi problema es que he intentado hacerlo por $x = \arcsin \frac {2t}{1+t^2}$ y sabiendo que si $y = \arcsin x$ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ I obtuvo el siguiente resultado $$ dx = -\frac{2}{1+t^2}dt$$ he revisado mi solución varias veces y no puedo encontrar una expresión algebraica error. En el caso de que el resultado es algebraicamente correcto, estoy especulando que ambos resultados son equivalentes porque de algo que tiene que ver con las restricciones impuestas al definir las funciones trigonométricas inversas, pero yo estoy perdido y no se puede averiguar la conexión.

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Entiendo el error ahora, la restricción de $x \in (-\pi/2,\pi/2)$ tiene que ser hecho según lo dictado por la definición de $\arcsin$ y, a continuación,$t=\tan(x/2)\in[\tan(-\pi/4),\tan(\pi/4)]=[-1,1]$. Ahora, mi pregunta es la siguiente: al intentar encontrar $dx$ $x = 2\arctan t$ imponemos la restricción de $x \in (-\pi,\pi)$ porque $\arctan t \in (-\pi/2,\pi/2)$, pero, no en contradicción con las restricciones que hemos impuesto en $x$ cuando la búsqueda de $dx$$x = \arcsin \frac {2t}{1+t^2}$?

Answer 1

Si $$ t = \tan(x) $$ usted puede utilizar impicit diferenciación, es decir, $$ \frac{d}{dt}t = \frac{d}{dt}\tan\left(\frac{x(t)}{2}\right) $$ así $$ 1 = \frac{1}{2}\s^2\left(\frac{x(t)}{2}\right) x'(t), $$ entonces $$ 2 \cos^2\left(\frac{x(t)}{2}\right) = x'(t) $$ y usando (a) $$ 2 \cos^2\left(\frac{x(t)}{2}\right) =\frac{2}{1 + t^2} = x'(t) $$

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La rama principal de $\arcsin \xi$ sólo se define cuando se $\xi \in (-1,1)$. A continuación, $\arcsin \frac{2t}{1+t^2}$ se define al $t \in (-1,1)$. Ahora, vamos a $$ x = \arcsin \frac{2}{1 + t^2} $$ entonces \begin{align} \frac{d x}{d t} &= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{4 t^2}{(1+t^2)^2}}} \frac{d}{d t}\left\{\frac{2 t}{1+t^2}\right\} = - \frac{2}{\sqrt{1-\frac{4 t^2}{(1+t^2)^2}}} \frac{t^2 -1}{(1 + t^2)^2}\\ &= -2 \frac{1+t^2}{\big|t^2 - 1\big|} \frac{t^2 -1}{(1 + t^2)^2} \end{align} y dado que el $t \in (-1,1)$, $$ \big|t^2 - 1\big| = 1 - t^2 $$ Finalmente $$ \frac{d x}{d t} = \frac{2}{1+t^2} $$