Probar funciones lineales que no son multiplicaciones por una constante son sin límites en cada intervalo

Question

Un ejercicio de un libro de lógica y teoría de conjuntos es la siguiente:

Deje $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ser tal que $\forall x, y : f(x + y) = f(x) + f(y)$, pero $f$ no es una multiplicación por una constante. Demostrar que es ilimitado en cada intervalo.

Mientras busca pistas que he llegado a través de Herrlich del "Axioma de Elección", donde (Teorema 5.5) demuestra una relacionada con el resultado de que no continua de soluciones a esta ecuación funcional no son medibles. Esto, junto con un continuo de soluciones que se están necesariamente una multiplicación por una constante y algunos análisis real (el cual es oxidado en mi caso), debe ceder el resultado requerido si lo he entendido correctamente.

Pero teniendo en cuenta que si las funciones son medibles requiere la adición de un montón más de la "estructura" a $\mathbb{R}$ que el libro que estoy usando normalmente se considera, así que tal vez hay una forma más concisa y sencilla solución. Por lo tanto, mi pregunta es: ¿hay uno?

El ejercicio consiste en una sección sobre la base de Hamel, así que supongo que está bien para probar esto sólo para Hamel-funciones relacionadas, como $f(x)$ ser una proyección de $x$ sobre una base de vectores en una base de Hamel $\mathbb{R}$ considera que un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$.

Answer 1

Lo primero de todo podemos observar que un $f$ de este tipo no es continua. De hecho, podemos poner $f(1) = a$ y a partir de la aditividad de la propiedad se deduce que $f(q) = aq$ por cada $q \in \mathbb{Q}$. Si, a continuación, $f$ será continua, se considera que el $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$, podríamos demostrar que $f(x) = ax$ por cada $x \in \mathbb{R}$, pero eso es una contradicción en virtud de nuestra hipótesis.

Desde que podemos demostrar que $f$ es discontinua en a $0$. Si $f$ ha sido continuo en $0$ a continuación, para cada $x \in \mathbb{R}$ tendríamos: $$ \lim_{h \to 0} [f(x +h) -f(x)] = \lim_{h \to 0} f(h) = 0$$ Y tendríamos $f$ continua en todos los puntos, lo cual es un absurdo.

Ahora podemos demostrar nuestra tesis. Deje $[a, b]$ ser un intervalo de $\mathbb{R}$. Desde $f$ es discontinua en a $0$ existe un $\epsilon > 0$ tal que para cada a $\delta > 0$ existe un $x_{\delta} < \delta$ tal que $f(x_{\delta}) > \epsilon$ (también podría ser $f(x_{\delta}) < -\epsilon$, pero la prueba sería análogo y para evitar confusiones, nos vamos a restringir en el primer caso).

Ahora tomado ninguna $n \in \mathbb{N}$ deje $c$ ser un entero positivo tal que $c \epsilon > n - f(a)$ y poner $\delta < \frac{b - a}{c}$. Así que tenemos un $0 < x_0 < \delta$ tal que $f(x_0) > \epsilon$. De esto se sigue que el$f(cx_0) > c \epsilon > n - f(a)$$cx_0 < b - a$.

Ahora podemos ver que $a + cx_0 \in [a,b]$ $$f(a + cx_0) = f(a) + f(cx_0) > f(a) + n - f(a) = n$$ Y hemos demostrado nuestra propuesta ya que para cada $n \in \mathbb{N}$ hemos encontrado una $x \in [a, b]$ tal que $f(x) > n$.

Espero que me ayudado a usted, sé que mi inglés no es perfecto, me siento si hice algún error.

Answer 2

Sólo para simplificar.

$f$ No es continua en $0$ existe una secuencia $x_n$ que tiende a $0$ $|f(x_n)|>n.$

De hecho existe s.t. de $\varepsilon>0$ % todo $\delta$, decir $\delta = \frac {1}{n^3}$, existe s.t. $x$, $|x|\varepsilon$. Entonces $n>\frac1\varepsilon$ y $x_n=n^2x$ tenemos $|x_n|n^2\varepsilon>n$

Queda para arrastrar el unboundeness cerca de cero a cualquier lugar. Que $c$ sea centro del intervalo. $|f(c+x_n)|= |f(c)+f(x_n)|\geqslant |f(x_n)|-|f(c)|>n-|f(c)|$ Tiende a $\infty$ y $c+x_n$ pertenecen a dado intervalo suficientemente grande $n$.