¿Es todavía un ideal ramificado cuando el número de primer generación parece dividir?

Question

Por ejemplo, en $\mathbb{Z}[\sqrt{34}]$, es claro que $\langle 2 \rangle = \langle 2, \sqrt{34} \rangle^2$ y $\langle 17 \rangle = \langle 17, \sqrt{34} \rangle^2$.

Sin embargo, mirando los números en lugar de los ideales generados por ellos, ver que $2 = (6 - \sqrt{34})(6 + \sqrt{34})$ y $17 = (-1)(17 - 3 \sqrt{34})(17 + 3 \sqrt{34})$.

Parece claro para mí de esto que $\langle 2 \rangle = \langle 6 + \sqrt{34} \rangle^2$, desde $6 - \sqrt{34} \in \langle 6 + \sqrt{34} \rangle$ a través de la unidad $35 + 6 \sqrt{34}$ y $\langle 6 - \sqrt{34} \rangle = \langle 6 + \sqrt{34} \rangle$.

Sin embargo, no estoy viendo cómo probar que $17 - 3 \sqrt{34} \in \langle 17 + 3 \sqrt{34} \rangle$, y también estoy empezando a preguntarme si estoy en el buen camino con esta línea de pensamiento.

Answer 1

Sí, es una ramificado ideal. Pero primero, echemos un vistazo a un número primo que realmente dividida en este dominio: $$(519 - 89 \sqrt{34})(519 + 89 \sqrt{34}) = 47.$$ Now try $$\frac{519 - 89 \sqrt{34}}{519 + 89 \sqrt{34}} = \frac{538675 - 92382 \sqrt{34}}{47}$$ and $$\frac{519 + 89 \sqrt{34}}{519 - 89 \sqrt{34}} = \frac{538675 + 92382 \sqrt{34}}{47}.$$ Esto nos dice que ningún factor de 47 es divisor del otro.

Por el contrario, ya se ha observado que $$\frac{6 - \sqrt{34}}{6 + \sqrt{34}} = 35 - 6 \sqrt{34}$$ (which is a unit) and $$\frac{6 + \sqrt{34}}{6 - \sqrt{34}} = 35 + 6 \sqrt{34}$$ (que también es una unidad). Daniel Fisher ha hecho cálculos similares para la 17 en los comentarios.

Por lo tanto, $\langle 2 \rangle = \langle 6 + \sqrt{34} \rangle^2$ (como ya has notado) y $\langle 17 \rangle = \langle 17 + 3 \sqrt{34} \rangle^2$. Los ideales se ramifican a pesar de la generación de los números de mirar como se separaron.

La situación es similar con el 5 y el 11 $\mathbb Z[\sqrt{55}]$. Podemos generalizar: si $p \mid d$$p = (a - b \sqrt d)(a + b \sqrt d)$, entonces no es una unidad de $u$ tal que $u(a - b \sqrt d) = a + b \sqrt d$ y vice-versa, y por lo tanto $\langle p \rangle = \langle a + b \sqrt d \rangle^2$.