El cálculo de los autovalores de la inducida por la acción en $H^0(2 K_C)$

Question

Dado un (suave) de la curva de $C$ y un automorphism $\phi$$C$. En la primera parte de su papel En la Kodaira dimensión del espacio de moduli de curvas de Harris y Mumford calcular los autovalores de la inducida por la acción de $\phi$ $H^0(2 K_C)$ (para el estudio de las singularidades de $\mathcal{M}_g$). Ellos no hacen esos cálculos, en lugar de sólo el estado de los resultados y me parece que le falta algo para entender cómo se hace, en principio.

Para ser más concretos, el ejemplo lo más fácil que tener en cuenta es (p. 31): $C$ $y^2 = (x^3 - 1) (x^3 - a)$ con automorphism $\phi(x,y) = (\zeta_3 x, - y)$ donde $\zeta_3$ es una primitiva de la tercera raíz de $1$. $C$ tiene género $2$, lo $H^0(2 K_C)$ tiene dimensión $3$. El automorphism es del orden de seis, por lo que los valores propios son dadas como $\zeta_6^{a_i}$, $i = 1,2,3$ con $\zeta_6$ una primitiva sexto raíz de $1$. Afirman que el $a_i$ se dan en $0,2,4$.

Cómo calcular los?

La única cosa que veo es que el $a_i = 0$ da un autovalor: Considerando $C \rightarrow C/\phi$, obtenemos una seis cubierta de $\mathbb{P}^1$ con cuatro puntos de ramificación de perfil de $(2,2,3,3)$. Ahora una ecuación cuadrática diferencial en $C$ tiene un autovalor iff es la elevación de una ecuación cuadrática diferencial en virtud de este mapa. No hay ninguna suave cuadrática diferenciales en $\mathbb{P}^1$. Pero si una ecuación cuadrática diferencial en $\mathbb{P}^1$ tiene un cero de orden $m$$p$, su elevación a $C$ tiene un cero de orden $m k + 2(k-1)$ (donde los números negativos indican polos) en un punto en la fibra a $p$, en el que localmente la cubierta es dado como $z \rightarrow z^k$. Así, en este ejemplo, una ecuación cuadrática diferencial con simples postes en los puntos de ramificación levanta a una suave cuadrática diferencial en $C$ (con lo prescrito ceros en cuatro de los diez puntos de ramificación). Ahora el espacio de la cuadrática diferenciales en $\mathbb{P}^1$ con polos en más de cuatro puntos es unidimensional y de esta manera obtenemos el uno-dimensional espacio propio correspondiente al valor propio $1$. Es ese derecho? Es posible calcular el resto de los autovalores de una manera similar?

Answer 1

Su argumento es correcto, pero no sé una manera de transferir a la otra autovalores.

El análisis de la cobertura $C\rightarrow C/\varphi$ da otra interpretación de la autovalor 1: cuatro puntos en un $P^1$ dar un one-dimensional del espacio de moduli ( $M_{1,4}$ ) y (lo más probable - no me lo deletrea) dar a través de la cobertura de los mencionados tipo unidimensional de la subfamilia de los locales universal deformación de $C$ a que el automorphism $\varphi$ deforma. Por lo tanto la correspondiente unidimensional subcurve de la base del espacio de los locales universal deformación es fijo pointwise por la inducida por la acción de $\varphi$.

Me gustaría tratar de transferencia de este tipo de argumento para definir el resto de los autovalores. Por ejemplo, el cubo de $\varphi$ es el hyperelliptic la involución que se deforma para cada curva suave de género 2. De ahí que la inducida por la acción de $\varphi^3$ es la identidad, lo que demuestra que los valores propios de la inducida por la acción de $\varphi$ debe ser de tercer raíces de la unidad (y no primitivo sexto raíces). El problema restante sería para demostrar que estos son primitivas tercer raíces (es decir, no hay dos dimensiones de la familia a la que $\varphi$ deforma) y estos son dos diferentes (de lo contrario, la Reid-Tai-suma sería de sólo $\frac{2}{6}+\frac{2}{6}<1$).

También podría ser necesario analizar la inducida por la acción de $\varphi$ sobre el local universal deformación de $C$ en más detalle. Usted encontrará la información sobre la deformación de la teoría de Harris-Morrison Módulos de curvas (p.102ff). Un problema que he luchado con mucho es la cuestión", Que la dirección de la acción es el derecho?": El espacio de deformaciones infinitesimales de $C$ $H^1(C,T_C)$ y isomorfo al espacio de la tangente de la base del espacio de los locales universal de deformación. A través de Riemann-Roch también es isomorfo a $H^0(C,2K_C)^\ast$. La inducida por la acción de $\varphi$ $H^0(C,2K_C)^\ast$ es el doble de la acción en $H^0(C,2K_C)$, lo que - lamentablemente - los inversos de todos los autovalores. Para Reid-Tai no es importante si usted toma uno o el otro, pero tienen que tener mucho cuidado de no utilizar el uno en la mitad de los cálculos y el otro en la segunda mitad.